Exercice 195

Algorithme-suites liées par une relation de récurrence ( BAC Asie 2012)

Contenu

- lecture d'un algorithme avec une boucle TANT QUE
- suites liées par une relation de récurrence
- étude du signe en utilisant un raisonnement par récurrence
- étude des variations et recherche des limites

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  1. On considère l'algorithme suivant :

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4$, $b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

  2. Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
    On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par :
    $u_{0} = a$, $v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ :
    $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$.
      On peut poser $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
      Ne pas oublier de vérifier que $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
      On veut finalement montrer que $\dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}} sont strictements positifs sachant que $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs.
      On note $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
      -initialisation On a $b>a>0$ et $u_0=a$ et $v_0=b$
      donc $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
      -Hérédité
      On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $P_n$ et $P'n$ soient vraies soit $u_n>0$ et $v_n>0$
      On a alors $u_n+v_n >0$ donc $\dfrac{u_n+v_n}{2}>0$
      donc $u_{n+1} >0$ soit $P_{n+1}$ vraie.
      $\dfrac{u_n^2+v_n^2 }{2}>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}$
      On a $v_{n+1}>0$ soit $P'_{n+1}$ vraie
      On a donc montré par récurrence que $P_n$ et $P'_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$

      donc $u_n >0$ et $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leq v_{n}$.
      en développant (u_n+v_n)^2$
      On a $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=(u_{n+1}+v_{n+1})(u_{n+1}-v_{n+1})$
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
      On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et le résultat précédent.
    2. Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
      Si on compare les carrés $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$ on peut comparer aussi $v_{n+1}$ et $v_n$ puisque $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et la fonction carré est strictement croissante sur $[;+\infty[$
  3. Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
    Il faut utiliser les variations des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ et trouver un majorant pour la suite $(u_n)$ et un minorant pour la suite $(v_n)$


 
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