Exercice 193

Suite arithmético-géométrique (un+1=aun+b) et somme des termes

Contenu

- recherche de la forme explicite à l'aide d'une suite géométrique associée
- somme des termes d'une suite géométrique
- recherche de la somme des termes de la suite arithmético-géométrique

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Un entreprise perd une partie de ses clients chaque mois et décide recruter des commerciaux pour avoir de nouveaux clients chaque mois.
Au mois de janvier 2012, le nombre de clients est de 2000.
Chaque mois permet l'entreprise perd 10% de ses clients par rapport au mois précédent mais les vendeurs recrutés par l'entreprise permettent d'avoir 100 nouveaux clients chaque mois.
On note $v_1$ le nombre de clients au mois de janvier 2012, $v_2$ le nombre de clients au mois de février 2012....

  1. Quelle relation y-a-t-il entre $v_{n+1}$ et $v_n$?
    Diminuer une valeur de t% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{t}{100}$
    On ajoute aussi 100 nouveaux clients chaque mois.
    $v_{n+1}$ est le nombre de clients suivant le mois d'indice $n$ donc on a:
    Diminuer le nombre de clients de 10% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{10}{100}=0,9$
    L'entreprise perd 10% de ses clients donc il lui reste le mois suivant $0,9v_n$ clients auquel s'ajoutent les 100 nouveaux clients

    donc $v_{n+1}=0,9v_n+100$
  2. Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on pose $w_n=v_n-1000$.
    Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique et en déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    Exprimer $w_{n+1 }$ en fonction de $v_{n+1}$ puis en fonction de $v_n$ pour trouver une relation de la forme $w_{n+1}=qw_n$
  3. Exprimer $w_1+w_2+$......$+w_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire le nombre de clients cumulé sur $n$ mois.(c'est à dire le nombre de clients du premier mois+nombre de clients du deuxième mois.....)
    Pour calculer le nombre de clients cumulé sur $n$ mois, il faut calculer $v_1+v_2+$.....$+v_{24}$
    $v_1+v_2+$.....$+v_{n}=w_1+1000+w_2+1000+w_3+1000+$......$w_{n}+1000$
  4. Chaque client permet à l'entreprise de faire un bénéfice de 20 euros chaque mois.
    Calculer le bénéfice total, arrondi à l'euro, de l'entreprise sur 24 mois, c'est à dire entre début janvier 2012 et fin décembre 2014.
    Il faut déterminer le nombre total de clients sur 24 mois.


 
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