Exercice 192

Algorithme-raisonnement par récurrence-étude des variations et limite ) BAC S Liban 2013)

Contenu

- algorithme
- utilisation du raisonnement par récurrence pour montrer que la suite est majorée
- utilisation d'une suite auxiliaire pour déterminer la forme explicite
- étude des variations et recherche de la limite

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On considère la suite numérique $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
Partie A
  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

    On peut essayer de faire fonctionner chaque algorithme "à la main" en notant, pour chaque ligne de l'algorithme, la valeur de chacune des variables ...
    L'algorithme numéro 1 calcule tous les termes de $v_{0}$ à $v_{n}$ mais n'affiche que le dernier $v_{n}$ or on demande d'afficher tous les termes calculés dans la consigne.

    L'algorithme numéro 2 calcule $n$ fois de suite $v_{1}$ à partir de $v_{0}$ puisque à chaque passage dans la boucle POUR, on affecte la valeur 1 à la variable $v$ puis on l'affiche avant de faire le calcul $\dfrac{9}{6-v}$ .
    Il ne calcule pas les termes de $v_0$ à $v_{n}$.

    L'algorithme numéro 3 calcule tous les termes de 0 à $v_{n}$ et les affiche tous.
    On peut construire le tableau donnant la valeur des variables à chaque ligne de l'algorithme.
    Algorithme avec numéros de ligne:

    Si on saisit la valeur $n=3$ (ligne 3) par exemple, on a alors:


    L'algorithme numéro 3 affiche les termes d'indices 0 à $n$
  2. Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :


    Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    Une conhjecture consiste à émettre une hypothèse en s'appuyant sur les résultats ci-dessus mais sans la prouver. La preuve de cette conjecture est apportée à l'aide des questions suivantes
    D'après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à $n = 9$), il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3.

    Il semble que $(v_n)$ soit croissante et que sa limite soit égale à 3.
    1. Montrer par récurrence la propriété $P_{n} : 0 < v_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.
      Il faut vérifier que $P_0$ est vraie.
      Il faut utiliser $0 < v_{n} < 3$ puis encadrer $6-v_n$ puis $\dfrac{9}{6-v_n}$
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$.
      La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
      On a $v_{n+1} = \dfrac{9}{6 - v_{n}}$
      donc on peut remplacer $v_{n+1}$ par $ \dfrac{9}{6 - v_{n}}$ dans $v_{n+1} - v_{n}$
      Réduire au même dénominateur puis étudier le signe de l'expression en utilisant le résultat de la question précédente et en déduire les variations de la suite $(v_n)$
      rappel: Monotone signifie toujours croissante ou toujours décroissante
    3. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
      Utiliser le fait que la suite $(v_n)$ est strictement croissante et ne peut dépasser la valeur 3 (majorée par 3)
      Toute suite croissante et majorée est convergente (admet une limite finie)


Partie B: Recherche de la limite de la suite $(v_{n})$
On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout $n$ entier naturel par $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}$.
  1. Démontrer que $(w_{n})$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
    On peut montrer que la différence de deux termes consécutifs est constante (et égale à la raison).
    Il faut que cette différence soit constante pour tout entier naturel $n$fat
  2. En déduire l'expression de $(w_{n})$, puis celle de $(v_{n})$ en fonction de $n$ et enfin la limite de la suite $(v_n)$.
    Il faut connaître le premier terme et la raison d'une suite arithmétique pour donner sa forme explicite
    Avec l'expression $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}$, exprimer $v_n$ en fonction de $w_n$


 
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