Exercice 191

Etude d'une suite géométrique-algorithme (d'après BAC 2013)

Contenu

- étude d'une suite géométrique
- recherche d'un seuil avec un algorithme
- utilisation de la calculatrice pour calculer les termes d'une suite

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D'après BAC ES 2013 sujet métropole
Un industriel étudie l'évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu'il l'a achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.
Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2% par an.
On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année $(2000 + n)$ par une suite $\left(U_{n}\right)$. On a donc $U_{0} = 120000$.
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$: $ U_{n} = 120000 \times 0,98^n$.
    Diminuer une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{2}{100}$
    Chaque année on applique une baisse de 2% donc on applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{2}{100}=0,98$
    On a donc $U_{n+1}=0,98U_n$ donc $(U_n)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0=120000$ et de raison $q=0,98$

    donc $U_n=U_0q^n=120000\times 0,98^n$
    1. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ?
      $2005=2000+5$ donc il faut calculer $n=5$
      $2005=2000+5$ donc on prend $n=5$.
      $U_5=120000\times 0,98^5\approx 108470$

      En 2005, l'entreprise fabriquera 108470 jouets.
    2. Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100000.
      On peut utiliser la calculatrice pour afficher les valeurs de $0,98^n$ (MENU TABLE)
    3. Cet industriel décide qu'il changera la machine lorsqu'elle produira moins de 90 000 jouets par an.
      Recopier et compléter les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_{n} < 90000$.
      $n$ représente les indices et on doit augmenter l'indice de 1 à chaque passage dans la boucle
    1. Exprimer $1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n$ en fonction de $n$.
      On veut calculer la somme des termes d'une suite géométrique de raison 0,98 et premier terme 1.
      de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes.
    2. On pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{n}$.
      Montrer que $S_{n} = 6000000 \times \left(1 - 0,98^{n+1}\right)$.
    3. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les $15$ premières années de production.
      Il faut calculer $S_{15}$


 
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