Exercice 165

Algorithmes et suite de Syracuse

Contenu

- suite de Syracuse et calculs des premiers termes
- périodicité des termes de la suite
- programmation de l'algorithme avec la calculatrice (voir vidéo suite de Syracuse et programmation)
- modification de l'algorithme pour afficher la valeur maximale atteinte
- modification de l'algorithme pour afficher le premier indice pour lequel un=1

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
La suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence
est appelée suite de Syracuse.
Par exemple, si $u_0=5$ alors on a $u_1=3u_0+1=16$
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ avec $u_0=5$
    $u_1$ est pair donc $u_2=\dfrac{u_1}{2}=8$
    $u_2$ est pair donc $u_3=\dfrac{u_2}{2}=4$
    $u_3$ est pair donc $u_4=\dfrac{u_3}{2}=2$
    $u_4$ est pair donc $u_4=\dfrac{u_3}{2}=1$

    $u_1=16$, $u_2=8$, $u_3=4$, $u_4=2$ et $u_5=1$.
  2. Si $u_n=1$, calculer alors $u_{n+3}$.
    Que constate-t-on?
    $u_n$ est donc impair et $u_{n+1}=3u_n+1$...
    Si on a $u_n=1$ donc impair, on a $u_{n+1}=3u_n+1=4$
    $u_{n+1}$ est pair donc $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}}{2}=2$
    $u_{n+2}$ est pair donc $u_{n+3}=\dfrac{u_{n+2}}{2}=1$

    $u_{n+3}=1$

    Remarque
    Si on a$u_n=1$ alors la suite devient périodique, on retrouve alors les mêmes valeurs pour les termes de la suite pour les indices supérieurs à $n$ soit 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1...
  3. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes de la suite $(u_n)$ en saisissant le premier terme $u_0$ jusqu'à obtenir $u_n=1$.

    $E(x)$ est la partie entière d'une nombre réel.
    Par exemple $E(4,3)=4$, $E(10,9)=10$...
    Si $n$ est pair alors $\dfrac{n}{2}$ est un entier et on a alors $E\left(\dfrac{n}{2}\right)=\dfrac{n}{2}$
    Saisir cet algorithme dans la calculatrice et le tester avec $u_0=5$.
    Il faut utiliser le MENU PROGRAMME et recopier l'algorithme avec le lamgage de la calculatrice
  4. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche la plus grande valeur obtenue.
    A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on va tester si la valeur de $a=u_n$ est plus grande ou plus petite que les précédentes.
  5. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche le premier indice pour lequel on a $u_n=1$.
    Il faut ajouter une variable $n$ que l'on incrémente de 1 à chaque passage dans la boucle TANT QUE


 
Haut de page