Exercice 163

Etude complète d'une suite arithmético-géométrique (un+1=aun+b)-recherche d'un seuil

Contenu

- lecture d'un algorithme avec une Boucle POUR
- contrôle des résultats avec la calculatrice
- modification d'un algorithme avec une boucle TANT QUE

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  1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par l'algorithme ci-dessous:
    A chaque passage dans la boucle, on calcule $u+(i+1)^2$
    Dans l'algorithme ci-dessus, $i$ représente l'indice et $u$ le terme de la suite d'indice $i$.
    On a donc $u_{n+1}=u_n^2+(n+1)^2$.
    De plus, au départ on a $U=2$, ce qui correspond à $u_0$.

    Au premier passage dans la boucle, pour $i=0$, on affiche donc $i=0+1=1$ et donc $u_1=u_0+(0+1)^2$.

    La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier $n$ par la relation $u_{n+1}=u_n+(n+1)^2$ et $u_0=2$.
  2. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs affichées par cet algorithme pour la valeur $n=10$.
    On utilise le MENU RECUR de la calculatrice en sélectionnant TYPE $a_{n+1}$.
    Ne pas oublier de paramétrer le premier terme $a_0$ dans SET
    Dans le MENU RECUR de la calculatrice, il faut sélectionner TYPE (touche F3) puis $a_{n+1}$(touche F2)
    et saisir ensuite l'expression de la suite.
    Paramétrer ensuite dans SET, le premier indice à afficher, le dernier indice et le premier terme de la suite $a_0=2$.

    On a alors $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=16$, $u_4=32$ .....$u_{10}=387$
  3. Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
  4. Montrer que pour tout entier $n$, on a $u_n \geq n^2$ et en déduire la limite de la suite $(u_n)$.
    On a $(u_n)$ strictement croissante et $u_0=2$ donc $u_n\geq 2$
    Développer $n+1)^2$
  5. Modifier cet algorithme pour qu'il affiche la valeur de $n$ à partir de laquelle on a $u_n \geq 100000$.
    Avec la calculatrice, déterminer cet entier.
    On va utiliser une boucle TANT QUE puis afficher l'indice correspondant à $u_n \geq 1000000$


 
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