Exercice 154

Etude complète d'une suite arithmético-géométrique (un+1=aun+b)(d'après BAC ES 2013)

Contenu

- recherche des premiers termes graphiquement
- recherche de l'expression de la suite géométrique associée
- recherche de la forme explicite
- étude des variations et recherche de la limite
- application à l'évolution du nombre d'abonnés

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,9u_n+1,7$ et $u_0=10$.
Partie A
  1. Tracer les droites $(d)$ et $(\Delta)$ d'équations respectives $y=0,9x+1,7$ et $y=x$ dans un même repère pour des valeurs de $x\in[0;25]$.
    Pour tracer une droite définie par son équation réduite, on peut déterminer les coordonnées de deux points de cette droite en choisissant deux valeurs de $x$ distinctes et en calculant l'ordonnée correspondante avec l'équation réduite de la droite. (tableau de valeurs avec deux valeurs)
    On peut aussi placer $b$ l'ordonnée à l'origine puis utiliser les coefficient directeur
    $(d)$ a pour équation réduite $y=0,9x+1,7$.
    Si $x=0$ alors $y=1,7$
    Si $x=10$ alors $y=0,9\times 10+1,7=10,7$
  2. Placer $u_0$, $u_1$, $u_3$ et $u_4$ sur l'axe des abscisses en utilisant les droites $(d)$ et $(\Delta)$.
    $u_{n+1}=0,9u_n+1,7$ et si on note $f$ la fonction affine dont la droite $(d)$ est la représentation graphique, on a alors $u_{n+1}=f(u_n)$
    On peut donc placer $u_0$ sur l'axe des abscisses et l'image de $u_0$ par $f$ est $u_1$.
    La droite $(\Delta)$ permet d'obtenir $u_1$ sur l'axe des abscisses.
    On procède de même pour $u_2=f(u_1)$.....
    $u_{n+1}=0,9u_n+1,7$ et si on note $f$ la fonction affine dont la droite $(d)$ est la représentation graphique, on a alors $u_{n+1}=f(u_n)$
    $u_1=f(u_0)$, $u_2=f(u_1)$, $u_3=f(u_2)$.....
    On place donc $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$ s'obtient en utilisant la droite $(d)$ puisque $u_1$ est l'image (tracé en pointillés bleus) de $u_0$ par $f$ dont la représentation graphique est la droite $(d)$.
    En utilisant la droite $(\Delta)$, on peut obtenir $u_1$ sur l'axe des ordonnées (tracé en pointillés rouges)
  3. A l'aide du graphique, quelle conjecture peut-on faire pour les variations et la limite de la suite $(u_n)$?
    conjecturer signifie observer sur le graphique et conclure sans en donner de justification

Partie B
  1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $w_n=u_n-17$.
    Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
    On cherche $q$ tel que $w_{n+1}=qw_n$
    $w_{n+1}=u_{n+1} - 17=0,9u_n+1,7-17$...
  2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-7\times 0,9^n+17$.
    On a $w_n=u_n-17$ donc $u_n=w_n+17$
  3. Justifier alors les conjectures émises dans la partie A (limite et variations).
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en factorisant l'expression
    $0,9^{n+1}=0,9\times 0,9^n$
    On peut aussi étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ en factorisant l'expression
  4. Montrer que pour tout $n\geq 9$, on a $14 < u_n <17$.
    Utiliser l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour montrer que $u_n<17$
    Utiliser les variations de la suite $(u_n)$ et calculer $u_9$ pour montrer que $u_n >14$


Partie C
Un magazine est vendu uniquement par abonnement.
D'une année sur l'autre, on a constaté que 10% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement mais qu'il a également 1700 nouveaux abonnés.
En 2005, il y a avait 10 000 abonnés.
  1. Montrer que la suite $(u_n)$ correspond au nombre d'abonnés, en milliers, de l'année $2005+n$ ($n\in \mathbb{N}$).
    $u_n$ représente le nombre d'abonné de l'année $2005+n$ et $u_{n+1}$ le nombre d'abonnés l'année suivante.
  2. Déterminer le nombre d'abonnés du magazine en 2012.
    $2012=2005+7$ donc $n=7$
  3. Que peut-on dire du nombre d'abonnés à partir de l'année 2014?
    Utiliser la dernière question de la partie B puisque $2005+9=2014$


 
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