Exercice 151

Etude complète d'une suite arithmético-géométrique (un+1=aun+b)

Contenu

- détermination graphique des premiers termes pour conjecturer les variations et la limite de la suite
- recherche de la forme explicite en utilisant une suite auxiliaire géométrique
- étude des variations
- recherche de la limite en utilisant la limite d'une suite géométrique

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Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$
  1. calculer $u_1$ puis $u_2$
    On remplace $n$ par la valeur 0 dans la relation $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$ puis par la valeur $n=1$ pour calculer $u_2$
    En prenant $n=0$ dans la relation $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$, on a:
    $u_{1}=\dfrac{1}{3}u_0+4=\dfrac{-2}{3}+4=\dfrac{10}{3}$
    En prenant $n=1$ dans la relation $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$, on a:
    $u_{2}=\dfrac{1}{3}u_1+4=\dfrac{10}{9}+4=\dfrac{46}{9}$

    $u_1=\dfrac{10}{3}$ et $u_2=\dfrac{46}{9}$
  2. Tracer dans le même repère les droites d'équations $y=x$ et $y=\dfrac{1}{3}x+4$ puis représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suites $(u_n)$
    Pour obtenir $u_1$ avec le graphique, il suffit de placer $u_0$ sur le graphique et $\dfrac{1}{3}u_0+4=u_1$
    donc $u_1$ est l'image de $u_0$ par la fonction affine $f$ dont la représentation graphique est la droite d'équation $y=\dfrac{1}{3}x+4$
    De même, pour obtenir $u_2$, il suffit de placer $u_1$ sur l'axe des abscisses (avec la droite d'équation $y=x$) puis on obtient $u_2$ avec la droite équation $y=\dfrac{1}{3}x+4$ soit $u_2=f(u_1)$ et ainsi de suite....

    Il semble que $(u_n)$ soit croissante et que $u_n\longrightarrow 6$ quand $n\longrightarrow +\infty$
  3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=u_n-6$
    Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
    Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_n$ pour obtenir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$
  4. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$
  5. Démontrer les variations de $(u_n)$ conjecturées à la question 2.
    Pour étudier les variations de la suite $(u_n)$, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    Rappel: $3^{n+1}=3\times 3^n$
  6. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    On peut chercher la limite de la suite géométrique $(v_n)$ de raison $q=\dfrac{1}{3}$
    On a aussi $u_n=v_n+6$


 
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