Exercice 144

Variations d'une suite arithmético géométrique (un+1=aun+b)

Contenu

- montrer qu'une suite est majorée en utilisant le raisonnement par récurrence
- étude des variations d'une suiet arithmético-géométrique

Méthode 2:
- recherche de la forme explicite en utilisant une suite géométrique associée et étude des variations

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+1$ et $u_0=2$.
  1. Etude des variations: méthode 1
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leq 4$
      On pose $P_n$ la propriété $u_n \leq 4$ et on utilise un raisonnement par récurrence.
      Pour obtenir $u_{n+1}$ à partir de $u_n$, on doit multiplier par $\dfrac{3}{4}$ puis ajouter 1
      On note $P_n$ la propriété $u_n\leq 4$
      -Initialisation
      On a $u_0=2$ donc $u_0\leq 4$ donc $P_0$ est vraie.
      $u_1=\dfrac{3}{4}u_0+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$ donc $u_1\leq 4$ donc $P_1$ est vraie.
      - On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n\leq 4$
      $u_n \leq 4$ donc $\dfrac{3}{4}u_n \leq \dfrac{3}{4}\times 4$ soit $\dfrac{3}{4}u_n \leq 3$
      et $\dfrac{3}{4}u_n+1 \leq 3+1$
      donc $u_{n+1}\leq 4$
      donc $P_{n+1}$ est vraie.
      On a donc montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n$

      donc $u_n \leq 4$ pour tout entier naturel $n$.
    2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
      On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant la première question
      $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3}{4}u_n+1-u_n=1-\dfrac{1}{4}u_n$
      Or $u_n\leq 4$ pour tout entier naturel $n$ donc $\dfrac{1}{4}u_n\leq 1$
      donc $1-\dfrac{1}{4}u_n \geq 0$

      donc la suite $(u_n)$ est croissante.
  2. Méthode 2: avec une suite auxiliaire. La suite $(v_n)$ est définie tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-4$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
      Il faut montrer qu'il existe un réel $q$ tel que $v_{n+1}=qv_n$ pour tout entier naturel $n$.
      On a $v_{n+1}=u_{n+1}-4=\dfrac{3}{4}u_n+1-4$...
    2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
      On a $v_n=u_n-4$ donc $u_n=v_n+4$
    3. En utilisant la relation ci-dessus, retrouver le sens de variation de la suite $(u_n)$ obtenu avec la première méthode.
      On a $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=\dfrac{3}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$


 
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