Exercice 142

Etude des variations d'une suite définie par une relation de récurrence

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- suite définie par une relation de récurrence
- étude des variations

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Pour chaque cas ci-dessous, étudier les variations de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$
  1. $u_{n+1}=u_n^2-2u_n+5$
    Etudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$
    La suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence et $u_{n+1}=u_n^2-2u_n+5$
    $u_{n+1}-u_n=u_n^2-2u_n+5-u_n=u_n^2-3u_n+5$
    Etude du signe du polynôme $x^2-3x+5$
    $\Delta=(-3)^2-4\times 1 \times 5=-11$
    $\Delta<0$ donc $x^2-3x+5$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
    donc $x^2-3x+ 5 > 0$ pour tout réel $x$
    donc $u_{n+1}-u_n > 0$

    La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

    On ne peut pas étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x+5$ car $(u_n)$ est définie par récurrence.
    On a alors $u_{n+1}=f(u_n)$
    Remarque
    Utiliser les variations de la fonction associée n'est possible que pour les suites définies par une relation de la forme $u_n=f(n)$ (forme explicite)
  2. $u_{n+1}=u_n+2n-4$
    Etudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$


 
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