Exercice 141

Etude des variations d'une suite définie sous forme explicite

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- étude des variations d'une suite
- suites définies sous forme explicite

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Pour chaque cas ci-dessous, étudier les variations de la suite $(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et donner la limite de la suite $(u_n)$.
  1. $u_{n}=n^2+3n+5$
    On a $u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)+5$ et on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    $(u_n)$ étant donnée sous forme explicite, on peut aussi étudier les variations de la fonction associée $f$ définie sur $[0;+\infty[$
    $u_n=3n+5$
    donc $u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)+5=n^2+2n+1+3n+3+5=n^2+5n+9$
    $u_{n+1}-u_n=(n^2+5n+9)-(3n+5)=n^2+5n+9-3n-5=n^2+2n+4$
    On a $n^2\geq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ donc $2n +4 > 0$
    donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ (soit $u_{n+1}>u_n$)

    donc $(u_n)$ est strictement croissante.

    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 3n=+\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.

    Remarque On peut aussi étudier les variations de la fonction associée $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+3x+5$ et on a alors $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$
    $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et $f'(x)=2x+3$
    $x \geq 0$ donc $f'(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
    donc $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. $u_{n}=\dfrac{n+2}{n+1}$
    $(u_n)$ étant donnée sous forme explicite, on peut aussi étudier les variations de la fonction associée $f$ définie sur $[0;+\infty[$
  3. $u_{n}=\dfrac{3}{2^n}$
    On a $u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)+5$ et on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    $u_n=u_0\times q^n$ avec $u_0=3$ et $q=\dfrac{1}{2}$


 
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