Exercice 139

Limite d'une suite arithmético-géométrique

Contenu

- limite d'une suite arithmético-géométrique (relation un+1=aun+b)
- utilisation du raisonnement par récurrence pour comparer deux suites
- limite par comparaison

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$(u_n)$ est une suite géométrique définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-2$ et $u_0=2$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$
    Pour $n=0$, on a $u_{0+1}=u_1=3u_0-2=6-2=4$
    Pour $n=1$, on a $u_{1+1}=u_2=3u_1-2=12-2=10$

    $u_1=4$ et $u_2=10$
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\geq n$.
    On note $P_n$ la propriété $u_n \geq n$.
    -Initialisation
    Pour $n=0$, on a $u_0=2$ donc $u_0\geq 0$ (donc $P_0$ est vraie)
    $u_1=4$ donc pour $n=1$, on a $u_1\geq 1$ (donc $P_1$ est vraie)
    $u_2=10$ donc pour $n=2$, on a $u_2\geq 2$ (donc $P_2$ est vraie)
    -On suppose qu'il existe un entier naturel $n\geq 2$ tel que $u_n\geq n$ (propriété $P_n$)
    On veut montrer que $u_{n+1}\geq n+1$ (propriété $P_{n+1}$)
    $u_{n+1}=3u_n-2$ et $u_n \geq n$
    donc $3u_n-2\geq 3n-2$
    On veut comparer $3n-2$ et $n+1$.
    $3n-2-(n+1)=3n-2-n-1=2n-3$ or $n\geq 2$ donc $2n-3>0$ soit $3n-2\geq n+1$
    donc $u_{n+1}\geq n+1$ (propriété $P_{n+1}$)
    On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$

    donc $u_n\geq n$ pour tout entier $n$.
  3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
    On peut utiliser le résultat précédent soit $u_n\geq n$

  4. Deuxième méthode: recherche de la forme explicite de $u_n$ pour déterminer sa limite.
  5. On pose $w_n=u_n-1$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $w_{n+1}=qw_n$
    $w_{n+1}=u_{n+1}- 1 =3u_n-2 -1$....
  6. En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    On a $w_n=u_n-1$ donc $u_n=w_n+1$
  7. En déduire la limite de $(u_n)$.
    On peut chercher la limite de $3^n$


 
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