Exercice 138

Limite par comparaison avec des racines carrées

Contenu

- limite par comparaison
- utilisation de l'expression conjuguée

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
    On pourra multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ c'est à dire par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
    $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
    $\phantom{u_n}=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
    $\phantom{u_n}=\dfrac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
    $\phantom{u_n}=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
    $\phantom{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

    donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
  2. En déduire que pour tout entier naturel $n\geq 1 $, on a $0\leq u_n\leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$
    On a $\sqrt{n+1}> \sqrt{n}$
  3. En déduire la limite de $(u_n)$.
    On peut d'abord chercher la limite de $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$


 
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