Exercice 137

Limite par comparaison

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- déterminer la limite par comparaison en utilisant la limite d'une autre suite

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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
  1. $u_{n}=n^2+(-1)^n$
    $(-1)^n \geq -1$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $(-1)^n\geq -1$ donc $n^2+(-1)^n\geq n^2-1$
    soit $u_n\geq n^2-1$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2-1=+\infty$


    donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
  2. $u_{n}=-n+cos(n)$
    On a $-1\leq cos(x)\leq 1$
    On peut donc déterminer une suite $(v_n)$ telle que $u_n\leq v_n$ pourtout entier naturel $n$
  3. $u_{n}=\dfrac{cos(n)}{n^2+1}$
    On a $-1\leq cos(n)\leq 1$ et on peut encadrer alors $u_n$.


 
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