Exercice 135

Limite indéterminée avec des racines carrées

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- déterminer la limite d'une suite géométrique en fonction de la valeur de la raison

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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
  1. $u_{n}=n-\sqrt{n}$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n$ ou bien par $\sqrt{n}$ (on a $n=\sqrt{n}^2$
    Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
    Remarque
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\sqrt{n}=-\infty$
    donc le produit a une limite indéterminée.

    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}-1=+\infty$

    donc par produit on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$

    Remarque
    Pour tout entier naturel $n>0$, on a $n-\sqrt{n}=n\left(1-\dfrac{\sqrt{n}}{n}\right)=n\left(1-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}^2}\right)=n\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
    On peut ensuite déterminer la limite de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ puis de $1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et utiliser le produit des deux facteurs $n$ et $1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
  2. $u_{n}=\dfrac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{n}$
    Il faut déterminer la limite du numérateur puis du dénominateur


 
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