Exercice 133

Limite d'un polynôme

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- limite d'une suite dont la fonction associée est une fonction polynôme
- levée de l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré

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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
  1. $u_{n}=n^2-3n+1$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n^2$ et on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
    Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
    Remarque
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3n=-\infty$
    donc la somme a une limite indéterminée.

    Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{n}=0$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}=1$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$

    donc par produit on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
  2. $u_{n}=-3n^3+n^2+2$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n^2$ et on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
    Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
  3. $u_{n}=3n^3+n^2+2$
    vérifier s'il y a ou non indétermination


 
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