Exercice 1311

Limite d'une suite croissante majorée

Contenu

- étude des variations
- recherche d'un majorant en étudiant les variations de la fonction associée
- étude de la convergence de la suite

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On considère la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n(u_n+1)$ et $u_0=a$ avec $a\in ]-1;0[$.
  1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    $u_{n+1}-u_n=u_n(u_n+1)-u_n=u_n^2+u_n-u_n=u_n^2$
    or $u_n^2\geq 0$

    donc la suite $(u_n)$ est croissante.
  2. La fonction $f$ est définie sur $I=[-1;0]$ par $f(x)=x(x+1)$.
    Dresser le tableau de variations de $f$.
    En déduire que pour $x\in ]-1;0[$ on a $f(x)\in ]-1;0[$.
    On étudie le signe de la dérivée $f'(x)$
    $f(x)=x^2+x$ et $f$ est dérivable sur $[-1;0]$.
    $f'(x)=2x+1$
    $2x+1>0 \Longleftrightarrow x> \dfrac{-1}{2}$
    donc $f'(x)>0$ sur $\left]\dfrac{-1}{2};0 \right]$.

    $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)=\dfrac{-1}{2}\left(\dfrac{-1}{2}+1\right)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{-1}{4}$
    donc le minimum de $f$ sur $[-1;0]$ est $\dfrac{-1}{4}$ et le maximum est 0
    donc si $x\in]-1;0[$ on a $\dfrac{-1}{4}\leq f(x)<0 $

    donc $f(x)\in ]-1;0[$.
  3. En déduire que $-1< u_n <0$ pour tout entier naturel $n$.
    On pourra utiliser un raisonnement par récurrence
  4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
    On peut utiliser les résultats des questions 1 et 3.
  5. Déterminer la limite de $(u_n)$.
    Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=\alpha$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1}=\alpha$


 
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