Exercice 1310

Limite par comparaison-raisonnement par récurrence

Contenu

- Justifier un minorant avec un raisonnement par récurrence
- étude des variations
- recherche de la limite et étude de la convergence

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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$ et $u_0=5$.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq 3$.
    On peut utiliser le raisonnement par récurrence.
    On considère la propriété $P_n$: $u_n\geq 3$.
    - initialisation
    $u_0=5$ donc $u_0\geq 3$ ($P_0$ est vraie)
    - Hérédité
    On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ pour lequel $u_n\geq 3$ (propriété $P_n$).
    On veut montrer que $u_{n+1}\geq 3$ (propriété $P_{n+1}$).
    $u_n\geq 3$ donc $2u_n\geq 6$ soit $2u_n+3\geq 9$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
    donc $\sqrt{2u_n+3}\geq \sqrt{9}$ soit $u_{n+1}\geq 3$.
    donc on a montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$

    donc $u_n\geq 3$ pour tout entier naturel $n$.
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\sqrt{2u_n+3}^2-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}$
    et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant l'expression conjuguée $\sqrt{2u_n+3}+u_n$
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
    On peut utiliser les résultats des questions 1 et 2
  4. On admet que la limite $\alpha$ de la suite $(u_n)$ vérifie $\sqrt{2\alpha+3}=\alpha$.
    En déduire la limite de $(u_n)$.
    $u_n \geq 3$ donc $\alpha \geq 3$
    On peut élever au carré les deux membres de $\sqrt{2\alpha+3}=\alpha$.


 
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