Exercice 122

Somme des termes

Contenu

- justifier l'égalité d'une somme par récurrence
- calculs avec des entiers naturels

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Démontrer chacune des propriétés ci-dessous par récurrence.
  1. Pour tout entier naturel $n>0$, on a $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
    On peut noter cette somme $\Sigma_{k=1}^n k(k+1)$.
    On peut noter $P_n$ la propriété $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    Vérifier que la prorpiété est vraie pour $n=1$.
    On peut noter $P_n$ la propriété $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    -Initialisation
    Pour $n=1$, on calcule donc $1\times 2=2$
    et $\dfrac{1\times (1+1)\times (1+2)}{3}=\dfrac{6}{3}=2$
    donc la propriété $P_1$ est vraie.
    - On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
    On a alors $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    Au rang $n+1$, la propriété $P_{n+1}$ s'écrit
    $1\times 2+2\times 3+.....+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+1+1)(n+1+2)}{3}$
    c'est à dire $1\times 2+2\times 3+.....+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
    On doit calculer la somme $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)+(n+1)(n+2)$
    $\phantom{=}1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)+(n+1)(n+2)$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+\dfrac{3(n+1)(n+2)}{3}$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}$
    $=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$ (on factorise par $(n+1)(n+2)$)
    donc $P_{n+1}$ vraie
    On a donc montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.

    Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 2$, on a $2^{3n}-1$ est divisible par 7.
    Un nombre entier naturel $N$ est divisible par 7 s'il existe un entier naturel $k$ tel que $N=7k$
    On pose $P_n$ la propriété $2^{3n}-1$ est divisible par 7
    Vérifier que $P_2$ est vraie
    On a $2^{3(n+1)}-1=2^{3n}\times 2^3-1$


 
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