Exercice 121

Démontrer une propriété et raisonnement par récurrence

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- montrer une propriété en utilisant le raisonnement par récurrence

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Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $10^n-1$ divisible par 9.
  1. Vérifier que pour $n=1$ et $n=2$ on a $10^n-1$ divisible par 9
    Il faut calculer l'expression $10^n-1$ pour les entiers 1 et 2.
    Pour $n=1$, on a $10^1-1=10-1=9$
    et $9\div 9=1$

    $10^1-1$ est divisible par 9.

    Pour $n=2$, on a $10^2-1=100-1=99$
    et $99\div 9=11$

    $10^2-1$ est divisible par 9.
  2. On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $10^n-1$ soit divisible par 9.
    Montrer qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $10^{n+1}=90k+10$.
    Un nombre entier $N$ est divisible par 9 s'il existe un entier naturel $k$ tel que $N=9k$
    On a $10^{n+1}=10^n\times 10$
  3. Montrer alors par récurrence sur $n$ que $10^n-1$ est divisible par 9 pour tout entier naturel $n$ non nul.
    Vérifier que la propriété est vraie pour $n=1$(question 1)
    La propriété à prouver est $P_n$: $10^n-1$ divisible par 9
    On pourra utiliser le résultat de la question précédente et factoriser pour obtenir une expression de la forme $9k'$ avec $k'$ entier naturel.


 
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