Exercice 114

Etude des variations d'une suite

Contenu

Passage en revue des différentes méthodes pour étudier les variations d'une suite
- étude des variations d'une suite définie par récurrence ou sous forme explicite
- étude du signe de la différence de deux termes consécutifs
- utilisation de la fonction associée
- utilisation du quotient de deux termes consécutifs

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Etudier le sens de variation des suites suivantes.
  1. $u_n=2n^2+5n-3$
    La suite est donnée sous forme explicite donc on peut étudier les variations de la fonction associée sur $[0;+\infty[$
    On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=2x^2+5x-3$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=f(n)$.
    $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
    $f(x)=2\times 2x+5-0=4x+5$
    $x\geq 0$ donc $f'(x)>0$
    donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

    donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

    On ne peut utiliser les variations de la fonction associée que si la suite $(u_n)$ est donnée sous forme explicite.
    Remarque
    On peut aussi étudier le signe $u_{n+1}-u_n=2(n+1)^2+5(n+1)-3-(2n^2+5n-3)$
  2. La suite $(v_n)$ est définie par la relation $v_{n+1}=v_n+3n+1$ et $u_0=2$.
    Il faut étudier le signe de de $v_{n+1}-v_n$.
  3. La suite $(w_n)$ est définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par la relation $w_n=\dfrac{n}{3^n}$.
    On a $w_n>0$ donc on peut étudier le quotient $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ et déterminer s'il est supérieur ou inférieur à 1


 
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