Exercice 112

Suites arithmétiques

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- justifier qu'une suite est arithmétique

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Dans chaque cas, déterminer si la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique et si c'est le cas déterminer la raison et son premier terme.
  1. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5-2(n+2)$
    On peut montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=$ Constante et cette constante est alors la raison de la suite.
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $u_{n+1}=5-2((n+1)+2)=5-2(n+3)=5-2n-6=-2n-1$
    et $u_n=5-2(n+2)=5-2n-4=1-2n$
    $u_{n+1}-u_n=-2n-1-(1-2n)$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-2n-1-1+2n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-2$

    donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$

    Pour $n=0$, on a $u_0=1-2\times 0=1$
    $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ et de premier terme $u_0=1$
    $u_n=u_0+nr=1-2n$

    $u_n=1-2n$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=n^2+5n-1$
    On peut montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=$ Constante et cette constante est alors la raison de la suite.
    Si la suite n'est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer par exemple que $u_1-u_0\neq u_2-u_1$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}+u_n=2u_n-4$ et $u_0=2$
    On peut montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=$ Constante et cette constante est alors la raison de la suite.


 
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