Exercice 1095

Probabilités-loi normale-estimation (d'après BAC Antilles 2013)

Contenu

- arbre de probabilités, probabilités totales et conditionnelles
- justifier une loi binomiale
- approximation d'une loi binomiale par une loi normale (expérance et écart type d'une loi binomiale)
- estimation (intervalle de confiance)
- calculs de probabilités avec une loi normale

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Partie A
Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à 0,95.
En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}};f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Il faut montrer que $p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n\leq p+\frac{1}{\sqrt{n}} \Longleftrightarrow f - \frac{1}{\sqrt{n}}\leq p \leq f + \frac{1}{\sqrt{n}}$
$p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq f\leq p+\frac{1}{\sqrt{n}}\Longleftrightarrow -\frac{1}{\sqrt{n}}\leq f-p\leq \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\phantom{p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq f \leq p+\frac{1}{\sqrt{n}}}\Longleftrightarrow -f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq -p\leq -f+\frac{1}{\sqrt{n}}$
$\phantom{p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq f \leq p+\frac{1}{\sqrt{n}}}\Longleftrightarrow f+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq p\geq f-\frac{1}{\sqrt{n}}$ l'inégalité change de sens en multipliant tous les membres par $-1$
donc $p\left(p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq f \leq p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=p\left(f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\geq p\geq f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
Pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à 0,95
donc on a $p\left(p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq f\leq p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\geq 0,95$

On a donc $p\left(f-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq p\leq f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\geq 0,95$

Partie B
On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples.
Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).
  1. On interroge un étudiant au hasard. On note:
    $A$ l'évènement "l'étudiant répond $A$", $B$ l'évènement "l'étudiant répond $B$",
    $C$ l'évènement "l'étudiant répond $C$",
    $R$ l'évènement "l'étudiant connait la réponse",
    $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
    1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
      Il faut identifier les probabilités conditionnelles dans l'énoncé
      La probabilité que l'étudiant connaisse la bonne réponse est $p(R)=r$.
      S'il ne connaît pas la bonne réponse, il répond au hasard donc $p_{\overline{R}}(A)=p_{\overline{R}}(B)=p_{\overline{R}}(C)$.
      On a $p_{\overline{R}}(A)+p_{\overline{R}}(B)+p_{\overline{R}}(C)=1$
      donc $p_{\overline{R}}(A)=p_{\overline{R}}(B)=p_{\overline{R}}(C)=\dfrac{1}{3}$.
    2. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\dfrac{1}{3}\left(1+2r\right)$.
      Il y a deux parcours possibles sur l'arbre permettant d'obtenir $A$
    3. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
      On veut calculer $p_A(R)$
  2. Pour estimer $r$, on interroge 400 personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
    1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
      Déterminer l'épreuve de Bernouilli répétée.
      Justifier l'indépendance des épreuves de Bernouilli répétées puis conclure.
    2. Dans un premier sondage, on constate que 240 étudiants répondent $A$, parmi les 400 interrogés.
      Donner un intervalle de confiance au seuil de 95% de l'estimation de $p$.
      En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95% de $r$.
      On a ici $n=400$ et $f=\dfrac{240}{400}$ .
      On a $p=\dfrac{1}{3}\left(1+2r\right)$ et $0,55\leq p\leq 0,65$
    3. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
      1. Donner les paramètres de cette loi normale.
        Il faut calculer $p=p(A)$ et l'espérance puis l'écart type de la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$
      2. Donner une valeur approchée de $P(X\leq 250)$ à $10^{-2}$ près.
        On pourra s'aider de la table ci-dessus, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2.c.

        Exemple d'utilisation : au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre 0,706 correspond à $p(X\leq 245,3)$
        On peut utiliser la table ou directement la calculatrice avec Ncd(Casio) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) en saisissant BorneInf=$-10000$ par exemple et BorneSup=250 puis $\mu=240$ et $\sigma=\sqrt{96}$


 
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