Exercice 1094

Probabilités et loi normale (d'après BAC Liban 2013)

Contenu

- arbre de probabilités
- probabilités totales et conditionnelles
- loi normale et calcul de l'écart type connaissant une probabilité, lien entre loi normale et loi normale centrée réduite N(0:1)

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L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes.
Elle souhaite leur attribuer la dénomination "compote allégée".
La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18.
On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication $F_{1}$ et $F_{2}$.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
La chaîne de production $F_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production $F_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70\ des petits pots proviennent de la chaîne $F_{1}$ et 30\ de la chaîne $F_{2}$.
La chaîne $F_{1}$ produit 5\ de compotes non conformes et la chaîne $F_{2}$ en produit 1\.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
$E$ : "Le petit pot provient de la chaîne $F_{2}$"
$C$ : "Le petit pot est conforme."
  1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
    Il faut identifier les probabilités conditionnelles dans l'énoncé
    Ainsi, dans la production totale, 70\ des petits pots proviennent de la chaîne $F_{1}$ donc $p(\overline{E})=0,7$
    et 30\ de la chaîne $F_{2}$ donc $p(E)=0,3$
    La chaîne $F_{1}$ produit 5\ de compotes non conformes donc $p_{F_1}(\overline{C})=0,05$
    et la chaîne $F_{2}$ en produit 1\ donc $p_{F_2}(\overline{C})=0,01$
  2. Calculer la probabilité de l'évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production $F_{1}$. "
    On veut calculer $p(\overline{E}\cap C)$
    La probabilité de l'évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production $F_{1}$. " se note $p(\overline{E}\cap C)$.
    $p(\overline{E}\cap C)=p(\overline{E})\times p_{\overline{E}}(C)=0,7\times 0,95=0,665$

    la probabilité que Le petit pot soit conforme et provienne de la chaîne de $F_{1}$ est $p(\overline{E}\cap C)=0,665$
  3. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$.
    Il y a deux parcours possibles sur l'arbre permettant d'obtenir $C$
  4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
    On veut calculer $p_C(E)$

Partie B
  1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$.
    Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

    Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$ soit conforme.
    On veut calculer $p(0,16\leq X\leq 0,18)$ et on peut décomposer avec $p(X\leq 0,16)$ et $p(X\leq 0,18)$
  2. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $Y$ suit la loi normale d'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$.
    On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
    Soit $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$.
    1. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?
    2. Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle $[0,16;0,18]$.
      On a $0,16 \leq Y\leq 0,18$ et $Z=\dfrac{Y-0,17}{\sigma_{2}}$
    3. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
      On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
      On cherche $k$ tel que $p(-k \leq Z\leq k)=0,99$


 
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