Exercice 1092

Probabilités conditionnelles, loi normale et loi exponentielle (d'après BAC Antilles 2014)

Contenu

- calculs de probabilités avec un arbre, probabilités conditionnelles
- loi exponentielle, déterminer le paramètre
- loi normale et loi normale centrée réduite, déterminer l'écart type

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Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur.
D'expérience, le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.
À l'issue des tests, il est noté que
96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note
- $N$ l'évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur" ;
- $A$ l'évènement : "la peluche est acceptée à l'issue des tests".
Les trois parties sont indépendantes.
Partie A
  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
    Il faut identifier les probabilités conditionnelles dans l'énoncé
    9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes donc $p(\overline{N})=0,09$
    96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests donc $p_N(A)=0,96$
    97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests donc $p_{\overline{N}}(\overline{A})=0,97$
    On a donc:
  2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763.
    Il y a deux parcours possibles sur l'arbre permettant d'obtenir $A$
    $N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales, on a:
    $p(A)=p(N\cap A)+p(\overline{N}\cap A)$
    $\phantom{p(A)}=p(N)p_N( A)+p(\overline{N})p_{\overline{N}}(A)$
    $\phantom{p(A)}=0,91\times 0,96+0,09\times 0,03$
    $\phantom{p(A)}=0,8763$

    La probabilité que la peluche soit acceptée par le test est $p(A)=0,8763$
  3. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
    On veut calculer $p_A(N)$
Partie B
On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
  1. On sait que $P(D \leq 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
    Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
    Il faut écrire une équation d'inconnue $\lambda$ sachant que $p(D\leq 4)=1-e^{-4\lambda}$
  2. On prendra ici $\lambda = 0,1733$.
    Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa s?ur qui vient de naître.
    Calculer la probabilité pour que sa s?ur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
    On utilise les probabilités conditionnelles avec $t=3$ et $h=5$

Partie C
Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.
  1. Soit $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
  2. On sait que $P(J \leq 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.
    $J \leqslant 385 \Longleftrightarrow X\leq \dfrac{27}{\sigma}$
    Il faut utiliser la fonction Inverse Normale (voir fiche méthode caclculatrice).


 
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