Exercice 1082

Intervalle de fluctuation

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- application du théorème de Moivre-Laplace
- opérations sur les inégalités, encadrement de fn
- intervalle de fluctuation

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On note $X_n$ la, variable aléatoire dont la loi de probabilité suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
On note $u_\alpha$ le réel positif tel que $p(-u_\alpha \leq X \leq u_\alpha)=1-alpha$ avec $\alpha \in]0;1[$ et $I_n=\left[p-u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$
La fréquence de la variable aléatoire $X_n$ est notée $f_n=\dfrac{X_n}{n}$.
  1. On pose $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.
    Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z_n$?
    Déterminer alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} p(-u_\alpha \leq Z_n \leq u_{\alpha})$.
    On utilise le théorème de Moivre-Laplace
    $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ donc $E(X_n)=\mu=np$ et $\sigma_{X_n}=\sqrt{np(1-p)}$.
    donc $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{X_n-\mu}{\sigma_{X_n}}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
    D'après le théorème de Moivre-Laplace, on a donc:
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} p(-u_\alpha \leq Z_n \leq u_{\alpha})=p(-u_\alpha \leq X \leq u_{\alpha})=1-\alpha$ avec $\alpha\in]0;1[$
  2. Montrer que $-u_\alpha \leq Z_n \leq u_{\alpha} \Longleftrightarrow p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq f_n \leq p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$.
    On a $-u_\alpha \leq \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq u_{\alpha}$ et on veut encadrer $X_n$ puis $\dfrac{X_n}{n}$
  3. En déduire que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}p(f_n\in I_n)=1-\alpha$.
    On peut utiliser la question précédente et la question 1


 
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