Exercice 1081

Démonstration de l'existence et l'unicité de u telle que p(-u< X < u)=1-∝

Contenu

- utilisation des propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1)
- théorème de la valeur intermédiaire
- démonstration de l'existence et l'unicité de uα telle que p(-uα< X < uα)=1-α avec α ∈ ]0;1[

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$X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ et on rappelle que la fonction densité de la loi normale centrée réduite est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$ et que la représentation graphique de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction $g$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=p(-x\leq X \leq x)=\displaystyle \int_{-x}^{x}f(t)dt$.
  1. Montrer que $g(x)=2p(0\leq X\leq x)$
    On peut écrire que $p(-x\leq X \leq x)=p(-x\leq X < 0)+p(0\leq X \leq x)$.
    $g(x)=p(-x\leq X \leq x)$
    $\phantom{g(x)}=p(-x\leq X < 0)+p(0\leq X \leq x)$
    $\phantom{g(x)}=p(0< X \leq x)+p(0\leq X \leq x)$
    $\phantom{g(x)}=p(0\leq X \leq x)+p(0\leq X \leq x)$
    $\phantom{g(x)}=2p(0\leq X \leq x)$

    $g(x)=2p(0\leq X \leq x)$
  2. Déterminer $g(0)$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)$.
    On rappelle que $p(X\geq 0)=0,5$
    $g(0)=2p(0\leq X \leq 0)=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2p(0\leq X \leq x)=2p(0\leq X)=1$

    donc $g(0)=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=1$
  3. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$.
    On a $g(x)=2p(0\leq X \leq x)=2\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt$
  4. En déduire que pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, l'équation $g(x)=1-\alpha$ admet une solution unique sur $[0;+\infty[$.
    $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et $0\leq g(x)< 1$
  5. En déduire que pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, il existe une unique valeur $u_\alpha$ telle que $p(-u_\alpha \leq X \leq u_{\alpha})=1-\alpha$.
    On utilise la question précédente puisque $g(x)=p(-x\leq X \leq x)$


 
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