Exercice 1065

Intervalle de fluctuation-comparaison de deux groupes

Contenu

- intervalles de fluctuations avec deux groupes
- comparaison de deux groupes et recherche d'un effectif pour une condition donnée

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On effectue une étude sur deux groupes distincts de 100 patients ayant les mêmes troubles.
Pour le premier groupe appelé groupe A, on administre un médicament placebo, c'est à dire sans ne contenant aucun principe actif susceptible de traiter la maladie et on constate qu'il y a un effet sur 40 patients.
Pour le second groupe, appelé groupe B, on administre un vrai traitement et on constate qu'il y a un effet sur 60 patients.
  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95% pour chacun des deux groupes avec la précision du dixième pour les bornes de chaque intervalle.
    Vérifier d'abord que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance.
    Il faut donner la valeur approchée de la borne inférieure par défaut et de la borne supérieure par excès
    Pour le groupe A, on a:
    $n_A=100$ et $p_A=\dfrac{40}{100}=0,4$.
    $n_A\geq 30$, $n_Ap_A=100\times 0,4=40$ soit $n_Ap_A\geq 5$
    et $n_A(1-p_A)=100\times 0,6=60$ soit $n_A(1-p_A)\geq 5$
    Les conditions sont donc requises pour calculer l'intervalle $I_A$ de fluctuation.
    $p_A-1,96\dfrac{\sqrt{p_A(1-p_A)}}{\sqrt{n_A}}=0,4-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,4\times 0,6}}{\sqrt{100}}\approx 0,3$ (valeur approchée par défaut)
    $p_A+1,96\dfrac{\sqrt{p_A(1-p_A)}}{\sqrt{n_A}}=0,4+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,4\times 0,6}}{\sqrt{100}}\approx 0,5$ (valeur approchée par excès)

    donc $I_A=[0,3;0,5]$

    Pour le groupe B, on a:
    $n_B=100$ et $p_B=\dfrac{60}{100}=0,6$.
    $n_B\geq 30$, $n_Bp_B=100\times 0,6=60$ soit $n_Bp_B\geq 5$
    et $n_B(1-p_B)=100\times 0,4=40$ soit $n_B(1-p_B)\geq 5$
    Les conditions sont donc requises pour calculer l'intervalle $I_B$ de fluctuation.
    $p_B-1,96\dfrac{\sqrt{p_B(1-p_B)}}{\sqrt{n_B}}=0,6-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,6\times 0,4}}{\sqrt{100}}\approx 0,5$ (valeur approchée par défaut)
    $p_B+1,96\dfrac{\sqrt{p_B(1-p_B)}}{\sqrt{n_B}}=0,6+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,6\times 0,4}}{\sqrt{100}}\approx 0,7$ (valeur approchée par excès)

    donc $I_B=[0,5;0,7]$

  2. On considère que l'effet du médicament est reconnu si les deux intervalles de fluctuation sont disjoints.
    Peut-on affirmer que le médicament est efficace avec ces résultats?
  3. On effectue un second test sur deux groupes de $n$ patients et on obtient alors la même proportion avec le placebo que dans l'étude précédente et 50% d'efficacité pour le médicament.
    Quelle doit être le nombre minimal de patients de chaque groupe pour que les deux intervalles de fluctuations soient disjoints?
    La borne supérieure de $I_{A}$ doit être strictement inférieure à la borne inférieure de $I_{B}$


 
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