Exercice 1064

Intervalle de fluctuation et prise de décision-déterminer un effectif

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- vérifier que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance
- intervalle de confiance et prise de décision
- déterminer un effectif pour avoir une conclusion donnée

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On estime que 5% des personnes sont atteinte d'une allergie à un type d'aliment donné.
Devant une hausse des patients atteint de cette allergie, on décide de mener une enquête auprès de 100 personnes prises au hasard.
Si la proportion observée dans cet échantillon est en-dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95%, on décide de faire une enquête plus poussée.
On admet que les personnes étudiées sont indépendantes les unes des autres.
  1. Sur les 100 personnes étudiées, on constate que 8 sont atteintes de cette allergie.
    Doit-on effectuer une étude plus poussée?
    Vérifier d'abord que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance.
    On a ici $p=0,05$ et $n=100$.
    Il faut donner la valeur approchée de la borne inférieure par défaut et de la borne supérieure par excès
    On a ici $n=100$ et $p=\dfrac{5}{100}=0,05$.
    $n\geq 30$, $np=100\times 0,05=5$ soit $np\geq 5$
    et $n(1-p)=100\times 0,95=95$ soit $n(1-p)\geq 5$
    Les conditions sont donc requises pour calculer l'intervalle $I_F$ de fluctuation.
    $p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=0,05-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,05\times 0,95}}{\sqrt{100}}\approx 0,007$ (valeur approchée par défaut)
    $p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=0,05+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,05\times 0,95}}{\sqrt{100}}\approx 0,093$ (valeur approchée par excès)

    donc $I_F=[0,007;0,093]$

    La fréquence observée est $f=\dfrac{8}{100}=0,08$ et $f\in I_F$

    donc on ne va pas devoir faire une étude plus poussée.
  2. La taille de l'échantillon d'étude est jugée trop faible par les médecins et les conclusions obtenues ne sont donc pas satisfaisantes.
    Quelle devra être la taille minimale de l'échantillon pour que la proportion de 8% observée soit en dehors de l'intervalle de fluctuation?
    La borne supérieure de l'intervalle de fluctuation doit être inférieure à 0,08.


 
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