Exercice 1063

Intervalle de fluctuation et prise de décision( type BAC)

Contenu

- justifier une loi binomiale
- vérifier les conditions pour le calcul de l'intervalle de fluctuation
- intervalle de fluctuation et prise de décision
- modification de la taille de l'échantillon et intervalle de fluctuation

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La gendarmerie a effectué des contrôles de vitesse sur un portion de route avec un virage dangereux où la vitesse est limitée à 50 km/h.
Sur une très longue période, il ressort que 3% des automobilistes sont en excès de vitesse.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'automobilistes en excès de vitesse sur les 200 véhicules contrôlés un jour donné.
On suppose que les véhicules contrôlés sont suffisamment éloignés les uns des autres pour que leur vitesse soit indépendante des autres véhicules.
  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?
    On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à contrôler un véhicule au hasard...
    On considère l'expérience aléatoire consistant à contrôler un véhicule au hasard dans l'urne
    Cette expérience aléatoire a deux issues possibles:
    $S$ : "le véhicule est en excès de vitesse" avec $p(S)=0,03$
    $\overline{S}$ : "le véhicule n'est pas en excès de vitesse"avec $p(\overline{S})=1-0,03=0,97$
    On répète successivement 200 fois cette épreuve de Bernouilli de manière indépendante (puisque les vitesses des véhicules sont indépendantes).
    La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres $n=200$ et $p=p(S)=0,03$

    $X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(200;0,03\right)$
  2. Vérifier que les conditions sont réunies pour calculer l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95% avec une précision de $10^{-3}$.
    Vérifier d'abord que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance.
    On a ici $p=0,03$ et $n=200$.
    Il faut donner la valeur approchée de la borne inférieure par défaut et de la borne supérieure par excès
  3. En cas d'excès de vitesse trop nombreux, c'est à dire s'il y a plus de 3% de véhicules en infraction, on envisage de renforcer la signalisation.
    Lors d'une matinée de contrôles, on a constaté que 14 véhicules sur 200 étaient en infraction.
    Doit-on renforcer la signalisation au seuil de confiance de 95%?
    On a ici $f=\dfrac{14}{200}$ et on doit déterminer si $f\in I_F$
  4. On effectue un contrôle sur 500 véhicules.
    Dans quel intervalle doit se trouver le nombre de véhicules en infraction pour que l'on décide de renforcer la signalisation au seuil de confiance de 95%?
    Il faut calculer de nouveau l'intervalle de fluctuation avec $n=500$ et $p=0,03$


 
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