Exercice 1063
Intervalle de fluctuation et prise de décision( type BAC)
La gendarmerie a effectué des contrôles de vitesse sur un portion de route avec un virage dangereux où la vitesse est limitée à 50 km/h.
Sur une très longue période, il ressort que 3% des automobilistes sont en excès de vitesse.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'automobilistes en excès de vitesse sur les 200 véhicules contrôlés un jour donné.
On suppose que les véhicules contrôlés sont suffisamment éloignés les uns des autres pour que leur vitesse soit indépendante des autres véhicules.
Sur une très longue période, il ressort que 3% des automobilistes sont en excès de vitesse.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'automobilistes en excès de vitesse sur les 200 véhicules contrôlés un jour donné.
On suppose que les véhicules contrôlés sont suffisamment éloignés les uns des autres pour que leur vitesse soit indépendante des autres véhicules.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?
Epreuve de Bernouilli
Un épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles notées S :"succés" et E$=\overline S$ :"échec"
Un schéma de Bernouilli consiste à répéter cette épreuve de Bernouilli de manière indépendante.Probabilités avec la loi binomiale
Dans un schéma de Bernouilli de $n$ épreuves répétées (éxpériences aléatoires indépendantes et n'ayant que deux issues possibles), pour tout entier $k$ tout entier $n$ tels que $0\leq k\leq n$, si on a $p(S)=p$ et $P(E)=p(\overline{S})=1-p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à contrôler un véhicule au hasard...On considère l'expérience aléatoire consistant à contrôler un véhicule au hasard dans l'urne
Cette expérience aléatoire a deux issues possibles:
$S$ : "le véhicule est en excès de vitesse" avec $p(S)=0,03$
$\overline{S}$ : "le véhicule n'est pas en excès de vitesse"avec $p(\overline{S})=1-0,03=0,97$
On répète successivement 200 fois cette épreuve de Bernouilli de manière indépendante (puisque les vitesses des véhicules sont indépendantes).
La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres $n=200$ et $p=p(S)=0,03$
$X$ suit la loi $\mathcal{B}\left(200;0,03\right)$ - Vérifier que les conditions sont réunies pour calculer l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95% avec une précision de $10^{-3}$.
Intervalle de fluctuation au seuil de 95%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.
L'intervalle $I=\left[ p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire $f=\dfrac{X}{n}$
On considère que l'approximation effectuée avec l'intervalle $I$ est valable si $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$Vérifier d'abord que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance.
On a ici $p=0,03$ et $n=200$.
Il faut donner la valeur approchée de la borne inférieure par défaut et de la borne supérieure par excès
Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- En cas d'excès de vitesse trop nombreux, c'est à dire s'il y a plus de 3% de véhicules en infraction, on envisage de renforcer la signalisation.
Lors d'une matinée de contrôles, on a constaté que 14 véhicules sur 200 étaient en infraction.
Doit-on renforcer la signalisation au seuil de confiance de 95%?Prise de décision
On observe la fréquence $f$ dans un échantillon de la population.
On note $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
On émet l'hypothèse suivante: "La proportion du caractère dans (toute) la population est $p$"
- Si $f\in I$ alors on peut considérer que l'hypothèse formulée selon laquelle la proportion est $p$ dans toute la population n'est pas remise en question et on l'accepte au seuil de risque de 5%.
-Si $f\notin I$ alors on peut rejeter l'hypothèse formulée au seuil de 5%On a ici $f=\dfrac{14}{200}$ et on doit déterminer si $f\in I_F$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
- On effectue un contrôle sur 500 véhicules.
Dans quel intervalle doit se trouver le nombre de véhicules en infraction pour que l'on décide de renforcer la signalisation au seuil de confiance de 95%?Il faut calculer de nouveau l'intervalle de fluctuation avec $n=500$ et $p=0,03$Besoin d'aide, explication d'une notion, devoir ou exercice à faire...:AIDE EN LIGNE