Exercice 1062

Intervalle de fluctuation et prise de décision

Contenu

- vérifier que les conditions sont requises
- calcul de l'intervalle de fluctuation
- prise de décision

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On effectue un contrôle qualité sur 500 pièces en sortie de chaîne de fabrication dans une grande entreprise.
On admet que le nombre de pièces fabriquées est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement de 500 pièces à un tirage avec remise.
Lors de ce contrôle, on constate que 22 pièces sont défectueuses parmi les 500 prélevées.
Lorsque la fabrication se déroule correctement, on admet que 4% des pièces sont défectueuses.
  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95% avec une précision de $10^{-4}$.
    Vérifier d'abord que les conditions sont requises pour calculer l'intervalle de confiance.
    On a ici $p=0,04$ et $n=500$.
    Il faut donner la valeur approchée de la borne inférieure par défaut et de la borne supérieure par excès
    On a ici $n=500$ et $p=\dfrac{4}{100}=0,04$.
    $n\geq 30$, $np=500\times 0,04=20$ soit $np\geq 5$
    et $n(1-p)=500\times 0,96=480$ soit $n(1-p)\geq 5$
    Les conditions sont donc requises pour calculer l'intervalle $I_F$ de fluctuation.
    $p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=0,04-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,04\times 0,96}}{\sqrt{500}}\approx 0,0228$ (valeur approchée par défaut)
    $p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=0,04+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,04\times 0,96}}{\sqrt{500}}\approx 0,0572$ (valeur approchée par excès)

    donc $I_F=[0,0228;0,0572]$
  2. Peut-on affirmer que la qualité de fabrication est satisfaisante, c'est à dire que 4% des pièces sont défectueuses au seuil de confiance de 95% à partir de cet échantillon?
    On a ici $f=\dfrac{22}{500}$


 
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