Exercice 1055

Déterminer k tel que p(-k < X < k)=p0 (calcul de U α)

Contenu

- utilisation des propriétés de la loi normale centrée réduite
- recherche de la valeur de k tel que p( -k < X < k) soit égale à une probabilité donnée (calcul de U α)

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La variable aléatoire $X$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$
On pose $p_t=p(X\leq t)$
  1. Montrer que $p(-t\leq X\leq t)=2p_t-1$
    On décompose en $p(-t\leq X\leq 0)+p(0\leq X \leq t)$
    $p(-t\leq X\leq t)=p(-t\leq X\leq 0)+p(0\leq X \leq t)$
    $\phantom{p(-t\leq X\leq t)}=p(0\leq X\leq t)+p(0\leq X \leq t)$
    $\phantom{p(-t\leq X\leq t)}=2p(0\leq X\leq t)$
    $\phantom{p(-t\leq X\leq t)}=2\left(p( X\leq t)-p(X<0)\right)$
    $\phantom{p(-t\leq X\leq t)}=2\left(p( X\leq t)-\dfrac{1}{2}\right)$
    $\phantom{p(-t\leq X\leq t)}=2p( X\leq t)-1$

    donc $p(-t\leq X\leq t)=2p_t-1$
  2. En déduire que pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$ on a $p(-t_{\alpha}\leq X \leq t_{\alpha})=1-\alpha \Longleftrightarrow p_{t_{\alpha}}=1-\dfrac{\alpha}{2}$
    On utilise le résultat de la question 1
  3. En utilisant le résultat précédent et la calculatrice, déterminer $t_{\alpha}$ tel que $p(-t_{\alpha}\leq X \leq t_{\alpha})=0,95$
    On cherche $t_{\alpha}$ avec la calculatrice tel que $p_{t_{\alpha}}=1-\dfrac{\alpha}{2}$ avec $1-\alpha=0,95$


 
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