Exercice 10516

Lien entre loi binomiale et loi normale

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- approximation d'une loi binomiale par une loi normale
- calcul d'une probabilité avec une loi normale, utilisation de la calculatrice
- équation du second degré et changement de variable

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Une entreprise fabrique des processeurs et 1\ d'entre eux sont défectueux.. On livre 2000 processeurs et on suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler le choix de ces 2000 processeurs à des tirages successifs avec remise.
  1. $X$ est la variable aléatoire donnant le nombre de processeurs défectueux parmi les 2000.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à prendre un processeur au hasard dans la production
    On peut assimiler le trirage des 2000 processeurs à des tirages successifs avec remise donc il y a indépendance.
    On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à prendre un processeur au hasard dans la production avec les issues possibles: $S$ "le processeur a un défaut" et $\overline{S}$ "le processeur n'a pas de défaut".
    On a alors $p(S)=\dfrac{1}{100}=0,01$ et $p(\overline{S})=1-0,01=0,99$.
    On répète 2000 fois successivement de manière indépendante(on peut assimiler le choix des 2000 processeurs a des tirages successifs avec remise) cette épreuve de Bernouilli et donc la loi de probabilité de $X$ (nombre de fois où l'on obtient $S$ parmi les 2000 épreuves) suit la loi binomiale de paramètres $n=2000$ et $p=0,01$ notée $\mathcal{B}(2000;0,01)$.

    $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(2000;0,01)$
  2. La loi de probabilité de $X$ peut être assimilée à une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.
    Déterminer $\mu$ et $\sigma$.
    Il faut calculer l'espérance de $X$ et son écart type
  3. En utilisant la loi normale de la question 2, calculer alors la probabilité, arrondie aux millièmes, que d'avoir plus de 30 processeurs défectueux dans une commande.
    On utilise Ncd (CASIO) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) avec BorneInf=30 et BorneSup=1000000 par exemple.
  4. Pour une autre commande de $n$ processeurs, on admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu=0,01n$ et d'écart type $\sigma=\sqrt{0,0099n}$.
    Déterminer le nombre de composants de cette commande pour que la probabilité d'avoir moins de 30 composants défectueux soit égale à 0,001.
    On pose $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ et $X\leq 30 \Longleftrightarrow Y\leq \dfrac{30-\mu}{\sigma}$
    On obtient une équation d'inconnue $n$ et on peut résoudre une éqtaion du second degré en posant $N=\sqrt{n}$


 
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