Exercice 10514

Problème complet avec une loi normale

Contenu

- calculs de probabilités et utilisation de la calculatrice
- lien entre loi normale et N(0;1)
- calcul de l'espérance connaissant l'écart type et une probabilité donnée

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Une usine produit des savons dont la masse $M$, en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire d'espérance $\mu=200$ et d'écart type $\sigma=2$.
Tous les résultats seront arrondis aux millièmes.
  1. On considère qu'un savon est aux normes si sa masse est comprise entre 198 et 202 grammes.
    Quelle est la probabilité qu'un savon pris au hasard dans la production soit aux normes?
    On utilise Ncd(CASIO) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) avec BorneInf=198 et BorneSup=202
    Avec la calculatrice(voir fiche méthode calculatrice) et Ncd (CASIO) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI), on a:
    Casio

    TI


    donc la probabilité que la masse soit comprise entre 198g et 202g est $p(198\leq M\leq 202)\approx 0,683$
  2. Afin d'avoir 90% des savons aux normes, l'entreprise souhaite changer le procédé de fabrication.
    Quel devra être l'écart type $\sigma'$ pour atteindre cet objectif?
    On pose $X=\dfrac{M-200}{\sigma'}$ et on cherche d'abord $k$ tel que $p(X\geq k)=0,9$
  3. Avec ce nouveau procédé, calculer alors la probabilité que la masse d'un savon soit inférieure à 198 grammes.
    On utilise Ncd (CASIO) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI).


 
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