Exercice 10512

Retrouver l'espérance connaissant l'écart type et une probabilité donnée

Contenu

- lien entre loi normale et loi normale centrée réduite
- utilisation de la fonction inverse normale de la calculatrice
- calcul de l'espérance
- calculs de probabilités avec la loi normale et la calculatrice

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La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu;16)$.
On sait que $p(X\leq 12)=0,8$
  1. On pose $Y=\dfrac{X-\mu}{4}$.
    Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$?
    Avec la calculatrice, déterminer la valeur de $k$, arrondie aux millièmes, telle que $p(Y\leq k)=0,75$
    dans la notation on a $\sigma^2$
    On utilise la fonction Inverse Normale de la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice et loi normale CASIO ou TI)
    La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu;16)$ donc $\sigma^2=16$ soit $\sigma=4$
    La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-\mu}{4}$ suit donc la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
    Avec la calculatrice et la fonction Inverse Normale(voir fiche méthode calculatrice Casio ou TI), on a $k \approx 0,842$

    $k\approx 0,842$ et $p(Y\leq k)= 0,8$

    Avec la calculatrice (voir fiche méthode Casio ou TI), on utilise la fonction Inverse Normale:
    Casio:

    TI:
  2. En déduire la valeur de $\mu$ arrondie aux centièmes.
    On a $\dfrac{X-\mu}{4}\leq 12 \Longleftrightarrow Y \leq \dfrac{12-\mu}{4}$
  3. Avec la calculatrice, calculer alors $p(X\geq 9)$ en arrondissant aux centièmes.
    On utilise Ncd (CASIO) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) en saisissant BorneInf=9, BorneSup=10000000 par exemple puis l'espérance et l'écart type (voir fiche méthode CASIO ou TI).


 
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