Exercice 10511

Déterminer l'écart type en utilisant la table de N(0;1)

Contenu

- lien entre loi normale et loi normale centrée réduite
- utilisation de la table de N(0;1) pour calculer l'écart type
- calcul d'une probabilité en utilisant la table N(0;1) et le lien entre la loi normale et N(0;1)

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La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu=7$ et d'écart type $\sigma$.
On sait que $p(X\leq 9)=0,898$
On donne ci-dessous la table des valeurs de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
  1. En posant $Y=\dfrac{X-7}{\sigma}$ et en utilisant la table des valeurs donnée ci-dessus, déterminer l'écart type $\sigma$ arrondie aux dixièmes.
    Il faut déterminer $k$ tel que $p(Y\leq k)=0,898$
    La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-7}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
    Avec la table donnée, on a $p(Y\leq k)=0,898$ pour $k \approx 1,27$
    $X\leq 9 \Longleftrightarrow \dfrac{X-7}{\sigma}\leq \dfrac{9-7}{\sigma} \Longleftrightarrow Y\leq \dfrac{2}{\sigma}$
    $p(X\leq 9)=p\left( Y\leq \dfrac{2}{\sigma}\right)=p(Y\leq k)=0,898$
    donc $\dfrac{2}{\sigma}=k$ soit $\sigma=\dfrac{2}{k}\approx 1,6$

    donc $\sigma \approx 1,6$

    Remarque
    Avec la calculatrice (voir fiche méthode Casio ou TI), on peut contrôler le résultat avec la fonction Ncd(Casio) ou NormalCd ou NormalFrep (TI) (voir fiche méthode calculatrice Casio ou TI).
    On obtient $p(X\leq 9)\approx 0,894$ proche de 0,898 puisque $ \sigma$ est arrondi aux dixièmes.
  2. En utilisant la table donnée, calculer $p( 7\leq X \leq 7,5)$ en arrondissant aux centièmes.
    On a $p(7\leq X \leq 7,5)=p(X\leq 7,5)-p(X < 7)=p(X\leq 7,5)-p(X\leq 7)$ et $Y=\dfrac{X-7}{\sigma}$
    $\mu=7$ donc $p(X\leq 7)=0,5$


 
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