Exercice 1045

Déterminer le paramètre et calculs de probabilités avec une loi exponentielle

Contenu

- calcul du paramètre connaissant une probabilité conditionnelle
- calculs de probabilités avec la loi exponentielle et simplifications en utilisant les propriété de l'exponentielle et du logarithme
- calcul d'une probabilité conditionnelle

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Dans une administration, le temps de traitement d'un dossier $t$, en minutes, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
  1. Lorsque le dossier est complexe, on a remarqué que la probabilité que le temps de traitement dure 5mn supplémentaires quand ce temps est supérieur à 10mn est de 0,5.
    En déduire le paramètre de cette loi exponentielle.
    $p_{t\geq 10}(t\geq 10+5)=p(t\geq 5)$ et $p(t\geq 5)=e^{-5\lambda}=0,5$
    $e^{-5\lambda}=0,5 \Longleftrightarrow -5\lambda=ln(0,5)\Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{ln(0,5)}{-5}$

    donc le paramètre de cette loi exponentielle est $\lambda=-\dfrac{ln(0,5}{5}$
  2. En déduire la probabilité que le temps de traitement d'un dossier soit comprise entre 5mn et 15mn
    $p(5\leq t\leq 15)=p(t\leq 15)-p(t\leq 5)$
  3. Déterminer le temps $t_0$ de traitement d'un dossier pour que la probabilité que ce temps de traitement soit inférieure à $t_0$ soit égale à 0,4.
    On doit résoudre une équation d'inconnue $t_0$ en utilisant le logarithme
  4. Calculer la probabilité que le temps de traitement dépasse 30mn sachant qu'il a déjà duré plus de 20 mn.


 
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