Etudier le signe des polynôme de degré 2
- $3x^2-4x+1$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Rechercher les racines de $3x^2-4x+1$
Dresser le tableau de signe de $3x^2-4x+1$ en utilisant le signe du coefficient $a$ de $x^2$Ici on a $a=3$, $b=-4$ et $c=1$
$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 3\times 1=16-12=4$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2}{6}=1$
Etude du signe de $3x^2-4x+1$
On pouvait éviter de calculer $\Delta$.
La somme des coefficients est nulle, $a+b+c=0$
donc $x_1=1$ est une racine de $3x^2-4x+1$
On peut utiliser le produit des racines soit $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$
donc $x_2=\dfrac{1}{3}$ - $-2x^2+4x-7$
Rechercher les racines de $-2x^2+4x-7$
Dresser le tableau de signe de $-2x^2+4x-7$Ici on a $a=-2$, $b=4$ et $c=-7$
$\Delta=b^2-4ac=16-4\times (-2)\times (-7)=-40$
donc $-2x^2+4x-7$ n'admet aucune racine
et est du signe de $a=-2$ coefficient de $x^2$
donc $-2x^2+4x-7$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x^2$ pour tout réel $x$.
- $x^2-6x+9$
Ici on a $a=1$, $b=-6$ et $c=9$
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1 \times 9=0$
donc $x^2-6x+9$ admet une seule racine (racine double)
$x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3$
donc $x^2-6x+9$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
devoir nº 664
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signe du polynôme du secon degré
- forme factorisée
- discriminant et racines
- signe du polynôme de degré 2
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