$(x+1)^2\geq 2x+3 \Longleftrightarrow x^2+2x+1 \geq 2x+3$
$\phantom{(x+1)^2\geq 2x+3} \Longleftrightarrow x^2+2x+1-2x-3\geq 0$
$\phantom{(x+1)^2\leq 2x+3} \Longleftrightarrow x^2-2\geq 0$
Recherche des racines de $x^2-2$
Ici le coefficient de $x$ est nul donc $b=0$
On peut donc déterminer les racines de $x^2-2$ sans calculer le discriminant $\Delta$
$x^2-2=0 \Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou bien $x=-\sqrt{2}$
Remarque
En cherchant les racines avec le discriminant $\Delta$ penser que le coefficient $b=0$
Signe de $x^2-2$

$(x+1)^2\geq 2x+3$ pour $x\in ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2};+\infty[$
$S= ]-\infty;-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2};+\infty[$

$2x^2-3x+1 < x^2-1 \Longleftrightarrow 2x^2-3x+1-x^2+1<0 \Longleftrightarrow x^2-3x+2 < 0$
Recherche des racines de $x^2-3x+2$
$x_1=1$ est une racine de $ x^2-3x+2$ car $1^2-3\times 1+2=0$.
Le produit des deux racines est $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
donc $1\times x_2=\dfrac{2}{1}=-3$ donc $x_2=2$
Signe de $x^2-3x+2$

$2x^2-3x+1 > x^2-1$ pour $x\in ]1;2[$
$S= ]1;2[$
Remarque
On peut aussi déterminer les racines en calculant $\Delta=1$

$-2x^2+4x>(2x-1)^2+3 \Longleftrightarrow -2x^2+4x>4x^2-4x+1+3$
$\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Longleftrightarrow -2x^2+4x-4x^2+4x-4>0$
$\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Longleftrightarrow -6x^2+8x-4>0$
$\phantom{-2x^2+4x>(2x-1)^2+3} \Delta=b^2-4ac=8^2-4\times (-6) \times (-4)=64-96=-32$
$\Delta<0$ donc $ -6x^2+8x-4$ n'admet aucune racine
et le polynôme $-6x^2+8x-4$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x^2$
donc $ -6x^2+8x-4$ est du signe de $a=-6$ coefficient de $x^2$ pour tout réel $x$.

Il n'y a aucune solution soit $S=\oslash$