Exercice corrigé 3-4-5:

Equation d'une tangente en un point

Contenu

Equation réduite de la tangente en un point
Contrôle des solutions avec le logiciel GEOGEBRA

Infos sur l'exercice

  •  chap 3: Dérivation
  • série 4: tangente à une courbe

  •  niveau:
  • 10mn
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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)

La fonction $f$ est définie sur D$=]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4}{x+2}$ et on note $C_{f}$ sa courbe représentative.
  1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse 2.
    Calculer $f'(x)$ puis $f'(2)$ en fonction de $a$
    Calculer $f(2)$
    La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour coefficient directeur $f'(2)$ et passe par le point de coordonnées $(2;f(2))$
    On pose $v(x)=x+2$ $v$ est dérivable D et $u(x)\neq 0$ sur D
    donc $f(x)=4\times \dfrac{1}{v(x)}$ est dérivable sur D
    On a $v'(x)=1$
    $f'(x)=4\times \dfrac{-1}{(x+2)^2}$ (formule $(\dfrac{1}{v})'=\dfrac{-v'}{v²}$)
    donc $f'(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^2}$

    $f'(2)=\dfrac{-4}{(2+2)^2}=\dfrac{-4}{16}=\dfrac{-1}{4}$ et $f(2)=\dfrac{4}{2+2}=1$
    L'équation réduite de la tangente T au point d'abscisse 2 est donc:
    $y=f'(2)(x-2)+f(2)=\dfrac{-1}{4}(x-2)+1=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{3}{2}$

    T: $y=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{3}{2}$

  2. Pour préparer les contrôles ou réviser avant l'entrée en terminale
    Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)

  3. Déterminer les coordonnées du point C tel que la tangente en C à la courbe $C_{f}$ soit parallèle à la droite d'équation $y=-x+3$
    Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ est $f'(x)$
    $f'(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^2}$
    La tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ a pour coefficient directeur $f'(x)$ doit être égal à 3 pour que cette tangente soit parallèle à la droite d'équation $y=-x+3$
    Il faut donc résoudre l'équation $f'(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^2}=-1$
    $\dfrac{-4}{(x+2)^2}=-1$
    $\Longleftrightarrow -4=-(x+2)^2$
    $\Longleftrightarrow 4=(x+2)^2$
    $\Longleftrightarrow x+2=2$ ou $x+2=-2$
    $\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
    or $D=]-2;+\infty[$ donc $-4\notin$D
    $f(0)=\dfrac{4}{0+2}=2$

    Il existe un seul point de coordonnées $(0;2)$
  4. Contrôler ces résultats en construisant la figure avec le logiciel GEOGEBRA
    Tracer la courbe repr´esentative de la fonction $f$ sur $]-2;10]$ par exemple
    Syntaxe: Fonction[4/(x+2),-2,10]
    Tracer les tangentes à la courbe au point d'abscisse 2 puis au point d'abscisse 0
    syntaxe: Tangente[point,courbe]
    Vérifier que l'équation donnée par le logiciel est cohérente avec les résultats donnés
    Les résultats obtenus sont cohérents avec ceux trouvés aux questions 1 et 2



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