Exercice 1 (6 points)

Déterminer la mesure principale de $x$, puis placer le point associé au réel $x$ sur le cercle trigonométrique.
Donner ensuite la valeur exacte de $cos(x)$ et de $sin(x)$.
  1. $\dfrac{-11\pi}{3}$

    Mesure principale


    La mesure principale d'un angle est la mesure appartenant à $]-\pi;\pi]$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    Calculer $-11\div 3$ et arrondir à l'entier $k$ le plus proche
    Il faut ensuite effectuer le calcul $\dfrac{-11\pi}{3}-k\pi$
    $-11\div 3\simeq -4$ (entier pair le plus proche)
    $\dfrac{-11\pi}{3}-(-4\pi)= \dfrac{-11\pi}{3}+\dfrac{12\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$


    On a alors $\dfrac{-11\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}-4\pi=\dfrac{\pi}{3}-2\times 2\pi$ ( deux tours dans le sens indirect sur le cercle trigonométrique)
    donc $cos\left(\dfrac{-11\pi}{3}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
    et $sin\left(\dfrac{-11\pi}{3}\right)=sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\dfrac{-17\pi}{6}$
    $-17\div 6\simeq -2$
    $\dfrac{-17\pi}{6}-(-2\pi)= \dfrac{-17\pi}{6}+\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{-5\pi}{6}$


    On a donc $\dfrac{-17\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}-2\pi$
    $cos\left(\dfrac{-17\pi}{6}\right)=cos\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
    $sin\left(\dfrac{-17\pi}{6}\right)=sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=\dfrac{-1}{2}$
Exercice 2 (6 points)
  1. En utilisant les angles associés, exprimer $A = \cos(x-\pi)-\sin(\pi -x)+\cos(\pi +x)-\sin(-x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$.

    Angles associés


    Exprimer les différents termes en fonction de $cos(x)$ et $sin(x)$
    $A=\cos(\pi-x)-\sin(x)-\cos(x)-(-\sin(x))$
    $~~~~=-\cos(x)-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)$
    $~~~~~=-2\cos(x)$
  2. Calculer $C = sin \dfrac{3\pi}{8}+\sin \dfrac{5\pi}{8}+\sin \dfrac{11\pi}{8}+\sin \dfrac{13\pi}{8}$ en utilisant les angles associés à $\dfrac{\pi}{8}$
    $\pi-\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{8\pi}{8}-\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{5\pi}{8}$
    De même $\pi+\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{8\pi}{8}+\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{11\pi}{8}$
    $C = sin \dfrac{3\pi}{8}+sin \dfrac{5\pi}{8}+sin \dfrac{11\pi}{8}+\sin \dfrac{13\pi}{8}$
    $~~~=sin \dfrac{3\pi}{8}+sin (\pi-\dfrac{3\pi}{8})+sin (\pi+\dfrac{3\pi}{8})+sin (2\pi-\dfrac{3\pi}{8})$
    $~~~=sin \dfrac{3\pi}{8}+sin (\dfrac{3\pi}{8})-sin (\dfrac{3\pi}{8})-sin (\dfrac{3\pi}{8})$
    $~~~=0$
Exercice 3 (8 points)

Résoudre les équations et les inéquations suivantes :
  1. Sur $[0;2\pi[$ : $\cos x=\dfrac{1}{2}$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    Déterminer une mesure $\alpha$ telle que $cos(\alpha)=\dfrac{1}{2}$
    il y a deux points sur le cercle ayant la même abscisse
    Résolution dans $\mathbb{R}$:
    $\cos x=\dfrac{1}{2}$
    $\Longleftrightarrow \cos x=\cos(\dfrac{\pi}{3})$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    -Recherche des solutions appartenant à $[0;2\pi[$:
    Si $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}\notin [0;2\pi[$
    Si $k=1$: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$
    Si $k=2$: $x=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}\notin [0;2\pi[$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}\notin [0;2\pi[$
    Si $k=-1$: $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=\dfrac{-5\pi}{3}\notin [0;2\pi[$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}-2\pi=\dfrac{-7\pi}{3}\notin [0;2\pi[$



    On peut aussi utiliser le cercle trigonométrique et placer les deux points ayant pour abscisse $\dfrac{1}{2}$
  2. Sur $]-\pi;\pi]$ : $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Déterminer une mesure $\alpha$ telle que $sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt {2}}{2}$
    il y a deux points sur le cercle ayant la même ordonnée
    - Résolution dans $\mathbb{R}$:
    $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $\Longleftrightarrow \sin x=\sin(\dfrac{-\pi}{4})$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{-\pi}{4}+k2\pi$ ou $x=-\pi+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi=\dfrac{-3\pi}{4}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    - On résout sur Sur $]-\pi;\pi]$ donc
  3. Sur $[0;4\pi[$ : $\cos x=\cos \dfrac{2\pi}{3}$
    Rappel: Pour tout réel $x$, $cos(x)=cos(-x)$
    $cos(x)=cos(\alpha)\Longleftrightarrow x=\alpha+k2\pi$ ou $ x=-\alpha+k2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$fat
    - Résolution dans $\mathbb{R}$:
    $\cos x=\cos \dfrac{2\pi}{3}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=\dfrac{-2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    - Recherche des solutions appartenant à $[0;4\pi[$:
    Si $k=0$: $x=\dfrac{-\pi}{4}\notin [0;4\pi[ $ ou $x=\dfrac{-3\pi}{4}\notin [0;4\pi[ $
    Si $k=1$: $x=\dfrac{-\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{-3\pi}{4}+2\pi=\dfrac{5\pi}{4}$
    Si $k=2$: $x=\dfrac{-\pi}{4}+4\pi=\dfrac{15\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{-3\pi}{4}+4\pi=\dfrac{13\pi}{4}$
    Si $k=3$: $x=\dfrac{-\pi}{4}+6\pi=\dfrac{23\pi}{4}\notin [0;4\pi[ $ ou $x=\dfrac{-3\pi}{4}+6\pi=\dfrac{21\pi}{4}\notin [0;4\pi[ $


    On peut aussi placer les points ayant pour ordonnée $\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$ et utiliser le cercle trigonométrique
  4. Sur $[0;2\pi[$ : $\cos^2 x =\dfrac{3}{4}$
    include152fclud
    Il y a deux possibilités pour $cos(x)$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou bien $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $cos(x)=cos(\alpha)\Longleftrightarrow x=\alpha+k2\pi$ ou $ x=-\alpha+k2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$fat
    - Résolution dans $\mathbb{R}$:
    $\cos^2 x =\dfrac{3}{4}$
    $\Longleftrightarrow \cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\cos x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    $\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    ou bien
    $\cos x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    - Recherche des solutions sur $[0;2\pi[$:
    si $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{6}$ ou $x=-\dfrac{\pi}{6} \notin [0;2\pi[$
    ou bien $x=\dfrac{5\pi}{6}$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6} \notin [0;2\pi[$

    si $k=1$: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{13\pi}{6}\notin [0;2\pi[$ ou $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6} $
    ou bien $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi \notin [0;2\pi[$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi=\dfrac{7\pi}{6}$
  5. Sur $]-\pi;\pi]$ : $6-12\cos x >0$
    isoler $cos(x)$
    $6-12\cos x >0$
    $\Longleftrightarrow -12\cos(x)>-6$
    $\Longleftrightarrow cos(x)< \dfrac{1}{2}$
    $cos(x)=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calcul de $cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$

- calcul d'une distance dans un repère
- coordonnées du milieu d'un segment
- angles associés


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