Exercice 1 (6 points)
  1. Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_0= \dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=u_n^2+2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    On peut calculer $u_{n+1}-u_n$
    Pour tout entier $n$: $u_{n+1}-u_n=u_n^2+2-u_n=u_n^2-u_n+2$
    Etude du signe de $x^2-x+2$
    $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 2=-7$
    $\Delta <0$ donc il n'y a aucune racine et $x^2-x+2$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
    donc $x^2-x+2>0$ pour tout réel $x$
    donc $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout entier $n$
  2. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q > 0$ telle que $u_5=16$ et $u_7=256$ : calculer $q$, $u_0$ puis donner la forme explicite de la suite $(u_n)$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    On peut écrire une équation d'inconnue $q$ en utilisant $u_5$ et $u_7$.
    $u_7=u_5\times q^2\Longleftrightarrow 256=16\times q^2$
    $\phantom{u_7=u_5\times q^2} \Longleftrightarrow q^2=\dfrac{256}{16}$
    $\phantom{u_7=u_5\times q^2} \Longleftrightarrow q^2=16$
    $\phantom{u_7=u_5\times q^2} \Longleftrightarrow q=\sqrt{16}$ ou $q=-\sqrt{16}$
    or $q>0$ donc $q=\sqrt{16}=4$\\
    $u_5=u_0\times q^5 \Longleftrightarrow 16=u_0\times 4^5 \Longleftrightarrow u_0=\dfrac{1}{64}$

    $u_n=u_0q^n=\dfrac{1}{64}\times 4^n$
Exercice 2 (7 points)
Chaque année, l'inflation est en moyenne de 2%.
Cela signifie que les prix augmentent en moyenne de 2% chaque année.
On note $p_n$ le prix d'un produit en $2012+n$ avec $n\in \mathbb{N}$.
En 2012, le prix de ce produit est de 20 euros.
  1. Que représente $p_0$? Donner sa valeur.
    $p_0$ correspond au prix de l'année $2012+0$
    $p_n$ est le prix du produit en $2012+n$
    donc $p_0$ représente le prix du produit en $2012+0=2012$.
    Ce produit coûte 20 euros en 2012 donc $p_0=20$.
  2. Déterminer la nature de la suite $(p_n)$ en justifiant la réponse.

    Coefficient multiplicateur


    Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
    Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    augmenter une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{2}{100}$
    Le prix $p_n$ augmente de 2.
    Augmenter une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{2}{100}=1,02$.
    donc $p_{n+1}=1,02p_n$ (définition d'une suite géométrique)


    On peut aussi écrire $p_{n+1}=p_n+\dfrac{2}{100}p_n=p_n\left(1+\dfrac{2}{100}\right)=1,02p_n$
  3. Calculer le prix du produit en 2020.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    déterminer d'abord la forme explicite de $(p_n)$.
    $(p_n)$ est une suite géométrique de premier terme $p_0=20$ et raison $q=1,02$
    donc $p_n=p_0q^n=20\times 1,02^n$
    $2020=2012+8$ donc il faut calculer $p_8$.
    $p_8=20\times 1,02^8\approx 23,43$ en arrondissant aux centimes.
  4. Déterminer à partir de quelle année le prix aura augmenté de 50%.
    On veut que le prix $p_n$ soit supérieur ou égal à 20 euros augmenté de 50% soit 30 euros
    $20+\dfrac{50}{100}\times 20=1,5\times 20=30$
    On cherche don $n$ tel que $p_n\geq 30$.
    $p_n\geq 30 \Longleftrightarrow 20\times 1,02^n\geq 30 \Longleftrightarrow 1,02^n\geq \dfrac{3}{2}$
    Avec la calculatrice et le MENU TABLE ou suites, on cherche la valeur minimale de $n$.

    Avec le MENU RECUR, saisir $a_{n}=1,02^n$.
    On peut aussi saisir l'expression de $p_n$ soit $a_n=20\times 1,02^n$ ou bien $a_{n+1}=1,02a_n$ puis paramétrer $a_0=20$ dans SET.

    On obtient donc $1,02^{20}\approx 1,49$ et $1,02^{21}\approx 1,52$
    On aura donc un prix $p_n\geq 30$ à partir de l'indice 21 soit pour l'année $2012+21=2033$.
Exercice 3 (7 points)
Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{1} = 30$ et pour tout entier naturel $n\geq 1$, $u_{n+1} = 1,1u_{n} -2$.
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 20$.
  1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    On a $v_{n+1}=u_{n+1}-20=1,1u_{n} -2-20$
    Il faut montrer que pour tout entier $n$, il existe un réel $q$ tel que $v_{n+1}=qv_n$
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $v_{n+1}=u_{n+1}-20 $
    $\phantom{v_{n+1}}=1,1u_n-2 -20 $ (on a $u_{n+1}=1,1u_n-2$)
    $\phantom{v_{n+1}}=1,1u_n-22 $
    $\phantom{v_{n+1}}=1,1(u_n-20) $ (on factorise par le coefficient de $u_n$ et $1,1\times 20=22$)
    $\phantom{v_{n+1}}=1,1v_n$ (rappel: $v_n=u_n-20$)
    donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,1$
    et de premier terme $v_1=u_1-20=30-20=10$
  2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    On a $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $v_1=10$
    $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $v_1=10$
    donc pour tout entier naturel $n$, on a:
    $v_n=v_1q^{n-1}=10\times 1,1^{n-1}$
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$: $ u_{n} = 20+10\times 1,1^{n-1}$.
    On a $v_n=u_n-20$ donc $u_n=v_n+20$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n-20$
    donc $u_n=v_n+20=20+10\times 1,1^{n-1}$

Partie B
Une chaîne de télévision compte 30 000 abonnés au mois de janvier (mois \no 1).
Elle fait une campagne de publicité pour augmenter le nombre d'abonnés.
Ce qui lui permet chaque mois d'avoir 10% d'abonnés supplémentaires mais perd 2000 anciens abonnés.

  1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'abonnés le n$^{\text{ième}}$ mois de la campagne publicitaire.
    Augmenter une valeur de 10% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{10}{100}$
    Le nombre d'abonnés augmente de 10% donc on applique le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{10}{100}=1,1$
    Si on a $u_n$ milliers d'abonnés le mois $n$, le mois suivant, le nombre d'abonnés(en milliers) augmente de 10% et il y en a alors $1,1u_n$.
    Il y a aussi 2000 abonnés en moins soit 2 milliers d'abonnés et il y a alors $1,1u_n-2$ milliers d'abonnés le mois suivant
    soit $u_{n+1}=1,1u_n-2$
    De plus pour $n=1$, soit le mois de janvier, il y a $u_1=30$ milliers d'abonnés.
  2. On décide d'utiliser un algorithme pour afficher le nombre d'abonnés le n$^{\text{ième}}$ mois de la campagne publicitaire.
    Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche le nombre d'abonnés le n$^{\text{ième}}$ mois.
    On peut utiliser la suite donnée sous forme récurrente donnée dans l'énoncé.
    On a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,1u_n-2$
    Au premier passage dans la boucle POUR, pour $i=2$, on calcule $1,1u-2$ avec $u=u_1=30$
    et on obtient $u=u_2$.
    Au second passage dans la boucle POUR, pour $i=3$, on calcule $1,1u-2=1,1u_2-2$
    et on obtient $u=u_3$...
    Pour afficher le mois $n$ soit $u_n$, il faut donc arrêter la boucle pour $i=n$ et on aura:
    D'autre par le nombre d'abonnés est donné en milliers donc il faut multiplier ce résultat par 1000.
  3. Calculer le nombre d'abonnés au mois de décembre.
    Le mois de janvier est le premier mois soit $n=1$ et donc pour le mois de décembre, on a $n=12$
    Le nombre d'abonnés est en milliers donc il faut arrondir aux millièmes.
    Pour $n=12$, on a $u_{12}=20+10\times 1,1^{12-1}=20+10\times 1,1^{11}\approx 48,531$