Exercice 1 (6 points)
On donne les points A, B , C et D (figure ci-dessous).
- Construire le vecteur $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
Produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
$||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$Il faut effectuer la translation de vecteur $-2\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.
- $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
Somme de deux vecteurs
Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.
Figures de base:
Il faut appliquer au point $A$ la translation de vecteur $-\overrightarrow{BC}$ (sens contraire du vecteur $\overrightarrow{BC}$) suivie de la translation de vecteur $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.
- $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BM}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ puis construire M.Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
Il faut décomposer $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$
puis $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CB}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$
Exercice 2 (6 points)
$ABCD$ est un rectangle.
- Placer les points les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.
- Pour toute la suite, on se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$
- Quelle est la nature de ce repère?
- Sans justifier, donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, et $D$.
- Calculer les coordonnées des points $E$ et $F$.
Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$$\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{AE}} =-x_{\overrightarrow{AB}} +2x_{\overrightarrow{AD}} \\
y_{\overrightarrow{AE}} =-y_{\overrightarrow{AB}} +2y_{\overrightarrow{AD}} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-x_A =-(x_B-x_A) +2(x_D-x_A) \\ y_E-y_A =-(y_B-y_A) +2(y_D-y_A) \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-1 +2\times 0 \\ y_E =-0 +2 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-1 \\ y_E =2 \end{cases}$
$\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-x_A=\dfrac{3}{2}(x_D-x_A) \\ y_F-y_A=\dfrac{3}{2}(y_D-y_A) \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F=0 \\ y_F=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
- Montrer que les points E, C et F sont alignés.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EF}$ puis utiliser le critère de colinéaritéCoordonnées de $\overrightarrow{EC}$:
$\begin{cases} x_C-x_E =1-(-1)=2 \\ y_C-y_E = 1-2=-1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{EC}(2;-1)$
Coordonnées de $\overrightarrow{CF}$:
$\begin{cases} x_F-x_C =0-1=-1 \\ y_F-y_C =\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{CF}(-1;\dfrac{1}{2})$
$x_{\overrightarrow{EC}}\times y_{\overrightarrow{CF}}-y_{\overrightarrow{EC}}\times x_{\overrightarrow{CF}}=2\times\dfrac{1}{2}-(-1)\times (-1)=1-1=0$
l donc les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires
penser à contrôler les calculs (coordonnées des vecteurs et alignement) sur le graphique
Exercice 3 (8 points)
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on donne les points $A(5;-4)$, $B(-1;6)$ et $C(9;-2)$
- Placer ces trois points dans le repère.
On placera ensuite les divers éléments de l'exercice sur la figure au fil des questions.
Montrer que les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont parallèles.Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéairesCoordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$:
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{OA}} =x_A-x_O=5-0=5 \\ y_{\overrightarrow{OA}} =y_A-y_O=-4-0=-4 \end{cases}$
$\overrightarrow{OA}(5;-4)$
Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$:
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}} =x_C-x_B=9-(-1)=10 \\ y_{\overrightarrow{BC}} =y_C-y_B=-2-6=-8 \end{cases}$
$\overrightarrow{BC}(10;-8)$
$x_{\overrightarrow{OA}}\times y_{\overrightarrow{BC}}-y_{\overrightarrow{OA}}\times x_{\overrightarrow{BC}}=5\times(-8)-(-4)\times 10=-40+40=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
- Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Il faut que les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ soient égales$ABCD$ soit un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (coordonnées égales)
$ \begin{cases} x_B-x_A=x_C-x_D \\ y_B-y_A=y_C-y_D \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -1-5=9-x_D \\ 6-(-4)=-2-y_D \end{cases}$
$\phantom{ \begin{cases} x_B-x_A=x_C-x_D \\ y_B-y_A=y_C-y_D \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_D =9+6=15 \\ y_D =-12 \end{cases}$
Penser à contrôler les résultats sur le graphique - Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.
Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$ \begin{cases} x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{-1+9}{2}=4 \\ y_I=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{6-2}{2}=2 \end{cases}$
- $D$ appartient-il à la droite $(OA)$?
$(AD)//(BC)$ et $(OA)//(BC)$
On peut aussi montrer que les points $O$, $A$ et $D$ sont alignés$ABCD$ est un parallélogramme donc $(AD)//(BC)$ et on a $(OA)//(BC)$
donc $(OA)//((AD)$ donc $(OA)$ et $(AD)$ sont confondues
On peut aussi montrer que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires. - Déterminer les coordonnées du point $G$ centre de gravité du triangle $ABC$.
Le centre de gravité est situé aux deux tiers de la médiane$G$ centre de gravité de $ABC$ donc $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ avec $I$ milieu de $[BC]$ et $I(4;2)$
On a $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ donc:
$ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-5=\dfrac{2}{3}(4-5) \\ y_G-(-4)=\dfrac{2}{3}(2-(-4)) \end{cases}$
$\phantom{ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-5=\dfrac{-2}{3} \\ y_G-(-4)=4 \end{cases}$
$\phantom{ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=\dfrac{-2}{3}+5=\dfrac{13}{3} \\ y_G=4-4=0 \end{cases}$
Si on utilise $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$, on a:
$\begin{cases} x_A-x_G+x_B-x_G+x_C-x_G=0 \\ y_A-y_G+y_B-y_G+y_C-y_G=0 \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} -3x_G+13=0 \\ -3y_G=0 \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=\dfrac{13}{3} \\ y_G=0 \\ \end{cases}$
Figure de l'exercice
vidéos semblables
Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.