Exercice 1 (4 points)
$ABCD$ et $BCFE$ sont deux parallélogrammes (voir figure ci-dessous).
  1. $G$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$.
    Construire $G$.
    Quelle est la nature du quadrilatère $BGCD$?

    Image d'un point par une translation


    $D$ est l'image de $C$ par la translation transformant $A$ en $B$ si $ABDC$ est un parallélogramme.
    $D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
    $A$ est l'origine et $B$ l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

    Vecteurs égaux


    Les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$ sont égaux
    si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
    Il faut construire le point $G$ tel que $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{DC}$.

    $G$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$
    donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BG}$
  2. Quelle est la nature du quadrilatère $AEFD$?
    On a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
    $ABCD$ parallélogramme
    donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
    $BCFE$ parallélogramme
    donc $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
    On a donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
    donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EF}$

Exercice 2 (6 points)
  1. Sur la figure ci-dessus, construire le vecteur $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$

    Somme de deux vecteurs


    Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.

    Figures de base:

    Produit d'un vecteur par un réel


    Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
    Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
    $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
    $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
    $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$

    Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$
  2. Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}$
    Il faut commencer la construction à partir de $A$
  3. En utilisant les points de la figure, compléter $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{....}$
    puis $ \overrightarrow{HF}-\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{....}$

    Relation de Chasles


    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
    On peut remplacer $\overrightarrow{IJ}$ par $\overrightarrow{AF}$
    et $-\overrightarrow{JG}$ par $\overrightarrow{FI}$
    $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AG}$
    $ \overrightarrow{HF}-\overrightarrow{JG}$
    $ =\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{GJ}$
    $= \overrightarrow{HF}+\overrightarrow{GJ}$
    $= \overrightarrow{HF}+\overrightarrow{FI}$
    $=\overrightarrow{HI}$

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