Exercice 1 (8 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
$A(-6;0)$, $B(0;4)$.
On complétera la figure ci-dessous au cours de l'exercice.
  1. Déterminer les coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$.

    Coordonnées du milieu d'un segment


    Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
    $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-6+0}{2}=-3\\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{0+4}{2}=2 \end{cases}$

    Contrôle graphique:
  2. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$.
    Quel est son centre et son rayon ?

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
    Le centre d'un cercle est le milieu d'un diamètre
    $I$ milieu de $[AB]$ est le centre de $\mathcal{C}$.
    $r=AI=\sqrt{(x_I-x_A)^2+(y_I-y_A)^2}=\sqrt{(-3-(-6))^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}$
  3. Soit $C(-5;5)$. Vérifier que $D \in \mathcal{C}$.
    Le point $C$ appartient au cercle si $IC=r$
    $CI=\sqrt{(x_I-x_C)^2+(y_I-y_C)^2}=\sqrt{(-3-(-5))^2+(2-5)^2}=\sqrt{13}$
    donc $CI=r=\sqrt{13}$

    Contrôle graphique:
  4. Quelle est la nature du triangle $ABC$. Justifiez votre réponse.
    $ABC$ est un triangle dont le cercle circonscrit a pour diamètre l'hypothénuse de $ABC$.
    Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ a pour centre le milieu de $[AB]$ (et pour diamètre $[AB]$
  5. Soient $D(4;-2)$.
    Montrer que $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AD}}=x_D-x_A= 4-(-6)=10\\ y_{\overrightarrow{AD}}=y_D-y_A= -2-0=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AD}(10;-2)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B= -5-0=-5\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B= 5-4=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BC}(-5;1)$
    $ x_{\overrightarrow{AD}}y_{\overrightarrow{BC}}-y_{\overrightarrow{AD}}x_{\overrightarrow{BC}}=10\times 1-(-2)\times (-5)=10-10=0$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires (même direction)

    Contrôle graphique:
Exercice 2 (7 points)
Dans un repère orthogonal, on considère les points $A(3;0)$, $B(-3;1)$ et $C(-1;2)$.
  1. Calculer les coordonnées de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

    Coordonnées d'un vecteur


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

    Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$
    On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
    Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ avec $D(x;y)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-3-3=-6\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-0=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-6;1)$
    On pose $D(x;y)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_C-x_D=-1-x\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_C-y_D=2-y \end{cases}$ donc $\overrightarrow{DC}(-1-x;2-y)$
    $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -1-x=-6\\ 2-y=1 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -x=-5\\ -y=-1 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=5\\ y=1 \end{cases} $

  2. Calculer les coordonnées de $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BD}$.
    Il faut que les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BD}$ soient égales.
    $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BD}$ donc:
    $\begin{cases} x_E-x_A=(x_B-x_C)-2(x_D-x_B)\\ y_E-y_A=(y_B-y_C)-2(y_D-y_B) \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-3=(-3-(-1))-2(5-(-3))\\ y_E-0=(1-2)-2(1-1) \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} x_E-x_A=(x_B-x_C)-2(x_D-x_B)\\ y_E-y_A=(y_B-y_C)-2(y_D-y_B) \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-3=-18\\ y_E=-1 \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} x_E-x_A=(x_B-x_C)-2(x_D-x_B)\\ y_E-y_A=(y_B-y_C)-2(y_D-y_B) \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-15\\ y_E=-1 \end{cases}$
  3. $C$, $E$ et $B$ sont-ils alignés ?

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Il faut utiliser les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CE}}=x_E-x_C=-15-(-1)=-14\\ y_{\overrightarrow{CE}}=y_E-y_C=-1-2=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CE}(-14;-3)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CB}}=x_B-x_C=-3-(-1)=-2\\ y_{\overrightarrow{CB}}=y_B-y_C=1-2=-1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CB}(-2;-1)$
    On utilise le critère de colinéarité:
    $-14\times (-1)-(-3)\times (-2)=14-6=8$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CB}$ ne sont pas colinéaires
Exercice 3 (5 points)
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(2;1)$ et $B(-3;-2)$.
  1. Déterminer les coordonnées de $C$ pour que $A$, $B$ et $C$ soient alignés sachant que $C$ a pour abscisse $-2$.

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient colinéaires.
    On pose $C(-2;y)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-3-2=-5\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-2-1=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-5;-3)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-2-2=-4\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=y-1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}(-4;y-1)$
    $A$, $B$ et $C$ sont alignés donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    En utilisant le critère de colinéarité, on a:
    $-5(y-1)-(-3)\times -4=0\Longleftrightarrow -5y+5-12=0$
    $\phantom{-5(y-1)-(-3)\times -4=0}\Longleftrightarrow -5y=7$
    $\phantom{-5(y-1)-(-3)\times -4=0}\Longleftrightarrow y=\dfrac{-7}{5}$

  2. Déterminer les coordonnées de $D$ pour $D$ appartienne à la médiatrice de $[AB]$ sachant que $C$ a pour abscisse $-2$.

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
    0 Tout point situé sur la médiatrice de $[AB]$ est équidistant de $A$ et de $B$.
    Le repère est orthonormé.
    On pose $D(-2;y)$.
    $AD=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}=\sqrt{(-2-2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{16+(y-1)^2}$
    donc $AD^2=16+(y-1)^2=16+y^2-2y+1=y^2-2y+17$
    $BD=\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}=\sqrt{(-2-(-3))^2+(y-(-2))^2}=\sqrt{1+(y+2)^2}$
    donc $BD^2=1+(y+2)^2=1+y^2+4y+4=y^2+4y+5$
    $D$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ donc $D$ est équidistant de $A$ et de $B$
    donc $AD^2=BD^2$
    $AD^2=BD^2 \Longleftrightarrow y^2-2y+17=y^2+4y+5$
    $\phantom{AD^2=BD^2} \Longleftrightarrow -2y-4y=-17+5$
    $\phantom{AD^2=BD^2} \Longleftrightarrow -6y=-12$
    $\phantom{AD^2=BD^2} \Longleftrightarrow y=2$

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