MATHS-LYCEE
Exercice 1 (5 points)
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=-3x+4$
- Quelle est la nature de la fonction $f$ ?
Fonction affine
Une fonction afffine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite coupant l'axe des ordonnées au point $(0;b)$ et l'axe des abscisses au point $\left(\dfrac{-b}{a}\right)$ (si $a\neq 0$).
Si $a=0$ alors la droite est parallèle à l'axe des abscisses.$f$ est de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a=-3$ et $b=+4$
- Calculer les images de $-3$ et de $\dfrac{2}{3}$ par $f$.
Image par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.
$f(-3)=-3\times (-3)+4=9+4=13$
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-3\times\dfrac{2}{3}+4$
$=-2+4$ (on peut simplifier par 3 avant de multiplier)
$=2$
- Calculer le(s) antécédent(s) de $-1$ par $f$.
Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
On veut déterminer $x$ tel que $f(x)=-1$
$f(x)=-1$
$-3x+4=-1$
$-3x=-1-4$
$-3x=-5$ $x=\frac{-5}{-3}$
$x=\frac{5}{3}$
- Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère
On peut utiliser l'ordonnée à l'origine $b=4$ et le coefficient directeur de la droite $a=-3$
On peut aussi calculer deux images par $f$ par exemple $f(0)$ et $f(3)$$b=4$ donc la droite représentant $f$ coupe l'axe des ordonnées en $+4$.
$a=-3$ donc quand $x$ varie de $+1$ alors $y$ varie de $-3$
\includegraphics[scale=0.8]{fig1}
On peut aussi utiliser deux images:
La droite passe donc par les points $A(0;4)$ et $B(2;-2)$. - Vérifier avec le graphique les résultats des questions 2 et 3 (on laissera les tracés en effectués pour contrôler).
Question 2: on a $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=2$
Question 3: on a $\dfrac{5}{3}$ antécédent $-1$ par $f$
Exercice 2 (5 points)
Un cinéma propose deux formules pour assister aux séances:
- Formule 1: 6 euros par séance
- Formule 2: Un abonnement annuel de 30 euros puis un tarif de 3 euros par séance
- Quelle est la formule la plus avantageuse pour 8 séances dans l'année?
- Formule 1 $p_1=8\times 6=48$
Avec la formule 1 le prix à payer est de 48 euros.
- Formule 2
$p_2=30+8\times 3=30+24=54$
Avec la formule 2 le prix à payer est de 54 euros.
- Les fonctions $f$ et $g$ donnent le prix à payer en fonction de $x$ séances dans l'année respectivement pour les formules 1 et 2.
Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$. - Représenter les fonctions $f$ et $g$ dans le repère ci-dessous pour un nombre de séances compris entre $0$ et $20$.
$f(x)=6x$ donc $a=6$ et $b=0$
La droite (en bleu) représentant $f$ coupe l'axe des ordonnées en $b=0$ (origine du repère)
et quand $x$ varie de $+10$ alors $y$ varie de $10\times 6=60 $.
On peut aussi calculer $f(0)=6\times 0=0$ et $f(20)=6\times 20=120$
La droite représentant $f$ passe par $A(0;0)$ et $B(20;120)$
$g(x)=30+3x=3x+30$ donc $a=3$ et $b=30$
La droite (en rouge) représentant $g$ coupe l'axe des ordonnées en $b=30$
et quand $x$ varie de $+10$ alors $y$ varie de $3\times 10=30$.
On peut aussi calculer $g(0)=30+3\times 0=30$ et $g(20)=30+3\times 20=90$
La droite représentant $g$ passe par $A'(0;30)$ et $B'(20;90)$
- En utilisant le graphique, déterminer à partir de combien de séances le tarif 2 sera plus avantageux que le tarif 1.
On veut que la droite rouge soit en-dessous de la bleueOn veut donc que les ordonnées des points de la droite rouge soient inférieures aux ordonnées des points de la droite bleue (droite rouge en dessous de la droite bleue)
Pour 10 séances, aucune des deux formules n'est plus avantageuse puisque $f(10)=6\times 10=60$ et $g(10)=30+3\times 10=60$.
$10$ étant l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
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