Exercice 1 (6 points)
Résoudre les équations suivantes:
  1. $(x-2)(x+1)=0$

    Produit de facteurs nul


    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
    $a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
    On a $x-2=0$ ou $x+1=0$
    $(x-2)(x+1)=0$
    $\Longleftrightarrow x-2=0$ ou $x+1=0$
    $\Longleftrightarrow x=2$ ou $x=-1$
  2. $(x-2)^2-9=0$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    on peut factoriser avec la troisième identité remarquable avec $a=x-2$ et $b=3$
    $(x-2)^2-9=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)^2-3^2=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2-3)(x-2+3)=0$ (troisième identité remarquable avec $a=x-2$ et $b=3$)
    $\Longleftrightarrow (x-5)(x+1)=0$
    $\Longleftrightarrow x-5=0$ ou $x+1=0$
    $\Longleftrightarrow x=5$ ou $x=-1$
  3. $(x+1)(x-3)=x-3$
    Il faut avoir $0$ dans le membre de droite puis factoriser le membre de gauche
    $(x+1)(x-3)=x-3$
    $\Longleftrightarrow (x+1)(x-3)-(x-3)=0$
    $\Longleftrightarrow (x-3)(x+1-1)=0$
    $\Longleftrightarrow (x-3)(x)=0$
    $\Longleftrightarrow x-3=0$ ou $x=0$
    $\Longleftrightarrow x=3$ ou $x=0$
  4. $\dfrac{2}{x-1}=3$

    Quotients égaux


    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)
    chercher d'abord la valeur interdite avant de résoudre
    Les produits en croix sont égaux
    Il faut que le dénominateur soit différent de $0$
    donc $x-1\neq 0$ soit $x\neq 1$.
    On résout donc cette équation sur $D=\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$.
    $\dfrac{2}{x-1}=3$
    $\Longleftrightarrow 2=3(x-1)$
    $\Longleftrightarrow 2=3x-3$
    $\Longleftrightarrow -3x=-2-3$
    $\Longleftrightarrow -3x=-5$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{-3}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$
    On a bien $\dfrac{5}{3}\neq 1$ donc $\dfrac{5}{3}\in D$
Exercice 2 (4 points)
  1. $-2$ est-il une solution de l'équation $2x^2-8x-8=0$?

    Solution d'une équation


    $\alpha$ est une solution d'une équation si l'égalité est vérifiée quand on remplace l'inconnue par la valeur de $\alpha$.
    Par exemple $-2$ est une solution de l'équation $3x^2+4x-4=0$.
    En effet, en remplaçant $x$ par la valeur $-2$, on a: $3\times (-2)^2+4\times (-2)-4=12-8-4=0$
    On a $(-2)^2=4$ mais $-2^2=-4$
    Il faut calculer $2x^2-8x-8$ pour la valeur $x=-2$.
    $2\times (-2)^2-8\times (-2)-8=8+16-8=16\neq 0$
  2. Montrer que pour tout réel $x$ on a $2x^2-8x-8=2\left[(x-2)^2-8\right]$.

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut développer et simplifier $2\left[(x-2)^2-8\right]$
    $2\left[(x-2)^2-8\right]$
    $=2\left[x^2-4x+4-8\right]$
    $=2\left[x^2-4x-4\right]$
    $=2x^2-2\times 4x-2\times 4$
    $=2x^2-8x-8$
  3. En déduire les solutions de l'équation $2x^2-8x-8=0$
    On peut résoudre $2\left[(x-2)^2-8\right]=0$
    $2x^2-8x-8=0$
    $\Longleftrightarrow 2\left[(x-2)^2-8\right]=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)^2-8=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)^2-\sqrt{8}^2=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2-\sqrt{8})(x-2+\sqrt{8})=0$
    $\Longleftrightarrow x-2-\sqrt{8}=0$ ou $x-2+\sqrt{8}=0$
    $\Longleftrightarrow x=2+\sqrt{8}$ ou $x=2-\sqrt{8}$

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