MATHS-LYCEE
Exercice 1 (3 points)
Donner la valeur absolue des nombres suivants:
- $|-5|$
Valeur absolue
Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
$|x|=x$ si $x\geq 0$
$|x|=-x$ si $x < 0$ - $|2-\sqrt{2}|$
- $|2-3\pi|$
Exercice 2 (4 points)
Les questions suivantes sont indépendantes.
- Sur un axe gradué, on donne $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{3}$ et $B$ d'abscisse $-3$ .
Calculer $AB$.Distance entre deux réels
Si les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $a$ et $b$ sur un axe gradué, la distance entre les réels $a$ et $b$ est $AB=d(a;b)=|a-b|=|b-a|$.
Par exemple $d(-2;3)=|3-(-2)|=|3+2|=|5|=5$
$d(-3;-7)=|-7-(-3)|=|-7+3|=|-4|=4$$AB=d\left(\dfrac{5}{3};-3\right)$
$\phantom{AB}=\left|-3-\dfrac{5}{3}\right|$
$\phantom{AB}=\left|\dfrac{-9}{3}-\dfrac{5}{3}\right|$
$\phantom{AB}=\left|\dfrac{-14}{3}\right|$
$\phantom{AB}=\dfrac{14}{3}$
- Résoudre l'équation $|x+2|=3$.
Équation de la forme $|x-a|=r$
Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.
Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$ $fcours$x+2=x-(-2)$
On peut utiliser le point $A$ d'abscisse $-2$ et le point $M$ d'abscisse $x$ sur un axe gradué$|x+2|=3\Longleftrightarrow x+2=-3$ ou $x+2=3$
$\phantom{|x+2|=3}\Longleftrightarrow x=-3-2$ ou $x=3-2$
$\phantom{|x+2|=3}\Longleftrightarrow x=-5$ ou $x=1$
Sur un axe gradué, on peut aussi utiliser le point $A$ d'abscisse $-2$ et le point $M$ d'abscisse $x$.
On a alors $AM=d(-2;x)=|x-(-2)|=|x+2|$
et on veut $AM=3$ donc $x=-2-3=-5$ ou $x=-2+3=1$- Résoudre $|x|>3$
- Déterminer le centre et le rayon de l'intervalle $\left[-\dfrac{5}{2};\dfrac{-1}{2}\right]$.
Déterminer le centre et le rayon d'un intervalle
L'intervalle $I=[\alpha;\beta]$ avec $\alpha < \beta$. Le centre de $I$ est $a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ (milieu du segment formé des points d'abscisses $\alpha$ et $\beta$)
Le rayon est $r=\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}=|\beta-a|$.
On a alors $I=[a-r;a+r]$.$c=\dfrac{\dfrac{-5}{2}+\dfrac{-1}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-6}{2}}{2}=\dfrac{-3}{2}$
$r=d\left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2}\right)$
$=\left|\dfrac{-1}{2}-\dfrac{-3}{2}\right|$
$=\left|\dfrac{2}{2}\right|$
$=|1|$
$=1$
Exercice 3 (3 points)Résoudre les inéquations suivantes:- $|x-4|\leq 2$
Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$
Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
On veut $AM \leq r$.
L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.
donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$Sur un axe gradué, on peut utiliser le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$Méthode 1: avec les distances
Sur un axe gradué, on considère le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$
et on veut $AM\leq 2$
donc $ 4-2 \leq x \leq 4+2$
soit $x\in [2;6]$
Méthode 2: intervalle centré
$|x-4|\leq 2$ donc $c=4$ et $r=2$
donc $x\in [4-2;4+2]$
Méthode 3: résolution par le calcul
$|x-4|\leq 2 \Longleftrightarrow -2\leq x-4 \leq 2$
$\phantom{|x-4|\leq 2} \Longleftrightarrow -2+4\leq x-4+4 \leq 2+4$
$\phantom{|x-4|\leq 2} \Longleftrightarrow 2\leq x \leq 6$
- $|x+\sqrt{2}|< 1$
- $|x-2|<-2$
rappel: une vcaleur absolue est toujours positivePour tout réel $x$ on a $|x-2|\geq 0$
donc cette inéquation n'admet aucune solution
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.Résolution d'équations et d'inéquations avec valeur absolue
- équations de la forme $|x-a|=r$ avec $r > 0$
inéquations de la forme $|x-a|\leq r$
- distances sur un axe gradué
infos: | 10-15mn |vidéos semblables
Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
