Exercice 1 (7 points)
On donne le triangle $ABC$ avec $A(-4;2)$, $B(2;4)$ et $C(5;0)$ dans un repère orthonormé du plan.
  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère.
    le repère est orthonormé donc les unités sont les mêmes sur les deux axes
  2. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et tracer la droite $(d)$ d'équation $y=\dfrac{-x+5}{2}$.
    Que représente la droite $(d)$ pour le triangle $ABC$? (justifier la réponse)

    Coordonnées du milieu d'un segment


    Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
    Il faut vérifier que $A$ et $I$ appartiennent à $(d)$
    $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-4+2}{2}=-1$
    et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{0+4}{2}=2$

    Tracé de $(d)$ d'équation $y=\dfrac{-x+5}{2}$
    Si $x=1$, on a $y=\dfrac{-1+5}{2}=2$
    et si $x=3$ on a $y=\dfrac{3+5}{2}=4$

    $\dfrac{-x_I+5}{2}=\dfrac{-(-1)+5}{2}=3=y_I$ donc $I\in (d)$
    $\dfrac{-x_C+5}{2}=\dfrac{-5+5}{2}=0=y_C$ donc $C\in (d)$
    donc $(d)$ passe par le sommet $C$ et le milieu de $[AB]$
  3. Déterminer l'équation réduite de la médiane $(d_1)$ issue de $B$ dans $ABC$.

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$


    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)
    Il faut déterminer l'équation réduite de $(BJ)$ avec $J$ milieu de $[AC]$
    Coordonnées du milieu $J$ de $[AC]$:
    $x_J=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-4+5}{2}=\dfrac{1}{2}$
    et $y_J=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2+0}{2}=1$
    donc $J\left(\dfrac{1}{2};1\right)$
    Equation réduite de $(BJ)$ médiane issue de $B$ dans $ABC$:
    $a=\dfrac{y_J-y_B}{x_J-x_B}=\dfrac{1-4}{\dfrac{1}{2}-2}=\dfrac{-3}{\dfrac{-3}{2}}=-3\times \dfrac{2}{-3}=2$
    L'équation réduite de $(BJ)$ est donc de la forme $y=2x+b$
    $B\in (BJ)$ donc $y_B=2x_B+b$
    soit $4=2\times 2+b$ donc $b=0$.



    La droite $(BJ)$ passe bien par l'origine du repère donc $b=0$
  4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $G$ des droites $(d)$ et $(d_1)$
    Que représente $G$ pour $ABC$ ?
    il faut résoudre le système formé avec les deux équations de droites
    L'équation réduite de $(d)$ est $y=\dfrac{-x+5}{2}$ et celle de $(d_1)$ est $y=2x$
    Les coordonnées de $G$ doivent vérifier l'équation de $(d)$ et celle de $(d_1)$
    donc il faut résoudre l'équation $\dfrac{-x+5}{2}=2x$.
    $\dfrac{-x+5}{2}=2x$
    $\Longleftrightarrow -x+5=4x$
    $\Longleftrightarrow 5=5x$
    $\Longleftrightarrow x=1$
    donc $x_G=1$ et $y_G=2\times x_G=2$



    Contrôle du calcul: $\dfrac{-x_G+5}{2}=\dfrac{-1+5}{2}=2=y_G$ donc $G$ appartient bien à $(d_1)$
Exercice 2 (13 points)
Le plan est muni d'un repère orthogonal donné ci-dessous.
\includegraphics[scale=0.8]{fig1}
  1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(d_1)$ puis celle de $(d_2)$ en utilisant le graphique.

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$


    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)
    Pour la droite $(d_1)$, on peut lier le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine directement sur le graphique
    Pour la droite $(d_2)$, il faut calculer l'ordonnée à l'origine en utilisant un point de $(d_2)$
    Pour la droite $(d_1)$:
    Coefficient directeur: $a_1=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{+3}{+3}=1$

    Ordonnée à l'origine:
    La droite $(d_1)$ coupe l'axe des ordonnées en $y=2$ donc $b_1=2$


    Pour la droite $(d_2)$:
    Coefficient directeur: $a_2=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{+1}{-5}=\dfrac{-1}{5}$

    Ordonnée à l'origine:
    La droite $(d_2)$ a donc une équation réduite de la forme $y=\dfrac{-1}{5}x+b_2$
    Le point $C(9;-1)$ appartient à la droite $(d_2)$ donc $y_C=\dfrac{-1}{5}x_C+b_2$
    $-1=\dfrac{-1}{5}\times 9+b_2 \Longleftrightarrow -1=\dfrac{-9}{5}+b_2$
    $\phantom{-1=\dfrac{-1}{5}\times 9+b_2} \Longleftrightarrow -1+\dfrac{9}{5}=b_2$
    $\phantom{-1=\dfrac{-1}{5}\times 9+b_2} \Longleftrightarrow \dfrac{4}{5}=b_2$
  2. Tracer, sur le graphique, la droite $d_3$ d'équation $y=x-4$ et justifier que $(d_3)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

    Tracer une droite


    Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, on peut:
    1. choisir deux valeurs de $x$ et calculer l'ordonnée correspondante avec l'équation de $(d)$ et placer les deux points obtenus
    2. utiliser un vecteur directeur de $(d)$ et calculer l'ordonnée d'un point de $(d)$ en choisissant une valeur de $x$
    On peut utiliser l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur ou bien déterminer les coordonnées de deux points de la droite $(d_3)$
    Si $x=0$ alors on a $y=-4$ (ordonnée à l'origine)
    et si $x=2$ alors $y=2-4=-2$

    le coefficient directeur de $(d_3)$ est $a_3=1$ et celui de $(d_1)$ est $a_1=1$
    donc $a_1=a_3$
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$, point d'intersection de $(d_3)$ et de l'axe des abscisses.
    $D$ appartient-il à $(d_2)$?
    Si $D$ appartient à l'axe des abscisses alors $y_D=0$
    $D$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_D=0$.
    $D(x_D;0)$ appartient à $(d_3)$ donc $y_D=x_D-4$
    donc $0=x_D-4$ soit $x_D=4$


    $\dfrac{-1}{5}x_D+\dfrac{4}{5}=\dfrac{-4}{5}+\dfrac{4}{5}=0=y_D$
  4. Justifier que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d'intersection que l'on nommera $I$.
    Il faut que les coordonnées de $I$ vérifient l'équation de $(d_1)$ et aussi de $(d_2)$.
    L'équation réduite de $(d_1)$ est $y=x+2$ et celle de $(d_2)$ est $y=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{4}{5}$.
    Le coefficient directeur de $(d_1)$ est $a_1=1$ et celui de $(d_2)$ est $a_2=\dfrac{-1}{5}$
    donc $a_1\neq a_2$


    Les coordonnées de $I$ doivent vérifier l'équation de $(d_1)$ et celle de $(d_2)$
    donc on doit avoir $x+2=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{4}{5}$.

    $\phantom{\Longleftrightarrow}x+2=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{4}{5}$
    $\Longleftrightarrow 5x+10=-x+4$ (on multiplie tous les termes par 5 pour se "débarasser" des fractions)
    $\Longleftrightarrow 6x=-6$
    $\Longleftrightarrow x=-1$
    On a donc $x_I=-1$ et $y_I=x_I+2=-1+2=1$
  5. On donne $A(1;3)$, vérifier que $A$ appartient à $(d_1)$ et déterminer l'équation réduite de $(d_4)$ parallèle à $(d_2)$ et passant par $A$ et la tracer.
    $(d_4)$ et $(d_2)$ on le même coefficient directeur et les coordonnées de $A$ doivent vérifier l'équation de $(d_4)$
    $(d_1)$ a pour équation réduite $y=x+2$
    $x_A+2=1+2=3=y_A$


    $(d_2)$ a pour coefficient directeur $a_2=\dfrac{-1}{5}$
    donc $(d_4)$ parallèle à $(d_2)$ a pour coefficient directeur $a_2=\dfrac{-1}{5}$.
    L'équation réduite de $(d_4)$ est de la forme $y=\dfrac{-1}{5}x+b_4$
    $A(1;3)$ appartient à $(d_4)$ donc $y_A=\dfrac{-1}{5}x_A+b_4$
    $3=\dfrac{-1}{5}\times 1+b_4$
    $ \Longleftrightarrow 3+\dfrac{1}{5}=b_4$
    $\Longleftrightarrow b_4=\dfrac{16}{5}$

    Penser à contrôler que $(d_4)$ coupe l'axe des ordonnées en $y=b_4=\dfrac{16}{5}=3,2$
  6. Déterminer les coordonnées du point $J$, intersection des droites $(d_3)$ et $(d_4)$.
    L'équation réduite de $(d_3)$ est $y=x-4$ et celle de $(d_4)$ est $y=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{16}{5}$
    Les coordonnées de $J$ doivent vérifier l'équation de $(d_3)$ et celle de $(d_4)$
    donc il faut résoudre l'équation $x-4=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{16}{5}$.
    $x-4=\dfrac{-1}{5}x+\dfrac{16}{5}$
    $\Longleftrightarrow 5x-20=-x+16$ (on multiplie tous les termes par 5 pour se "débarasser" des fractions)
    $\Longleftrightarrow 6x=36$
    $\Longleftrightarrow x=6$
    donc $x_J=6$ et $y_J=x_J-4=6-4=2$

    Contrôler les calculs en vérifiant que $J$ appartient bien à $(d_4)$.
    $ \dfrac{-1}{5}x_J+\dfrac{16}{5}=\dfrac{-1}{5}\times 6+\dfrac{16}{5}=\dfrac{10}{5}=y_J$ donc $J\in (d_4)$.
  7. Quelle est la nature du quadrilatère $AJDI$?
    On a $(d_1)// (d_3)$ et $(d_2)//(d_4)$
    On a $(d_1)// (d_3)$ et $(d_2)//(d_4)$ donc $(AJ)//(ID)$ et $(AI)//(JD)$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation réduite

- tracer une droite
- déterminer l'équation réduite
- déterminer l'équation réduite d'une parallèle


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