1. maths seconde
  2. chapitre
  3. devoir corrigé nº433
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Exercice 1 (4 points)
  1. Par lecture graphique, déterminer l'équation réduite de chacune des droites.

    Rappel de cours

    Équation réduite

    Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation (appelée équation réduite) de la forme $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.$a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine(ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
    L'accroissement $\Delta_y$ des ordonnées est proportionnel à l'accroissement $\Delta_x$ des abscisses.

    Solution

    - Droite bleue:
    Elle coupe l'axe des ordonnées en $y=4$ et $a=\dfrac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}}=\dfrac{-10}{-2}=5$ (voir graphique)

    - Droite rouge:
    Elle coupe l'axe des ordonnées en $y=3$ et $a=\dfrac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}}=\dfrac{-3}{3}=-1$ (voir graphique)

    - La droite verte est parallèle à l'axe des ordonnées

  2. Dans ce repère, tracer la droite $d$ d'équation $y=x+9$.

    Aide

    Il faut déterminer les coordonnées de deux points de la droite (on peut prendre $x=0$ puis $x=-3$ par exemple

    Solution

    Pour $x=0$ on a $y=0+9=9$ et pour $x=-3$ on a $y=-3+9=6$

  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de $d$ et de la droite rouge.

    Aide

    Il faut résoudre le système d'équation formé avec les deux équations réduites

    Solution

    $d$ a pour équation réduite $y=x+9$ et la droite rouge a pour équation réduite $y=-x+3$
    donc il faut résoudre l'équation $x+9=-x+3$
    $x+9=-x+3 \Longleftrightarrow 2x=-6 \Longleftrightarrow x=-3$
    et $y=x+9=-3+9=6$
Exercice 2 (6 points)
On se place dans un repère du plan ( on complétera une figure au fur et à mesure des questions ) . Soient $A(-1 ; 3)$ et $B(5 ; 1)$ deux points du plan :
  1. Déterminer l'équation de la droite $(AB)$.

    Rappel de cours

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$

    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)

    Solution

    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-3}{5-(-1)}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}$
    L'équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=-\dfrac{1}{3}x+b$.
    $A(-1;3)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $y_A=-\dfrac{1}{3}x_A+b$.
    $3=-\dfrac{1}{3}\times (-1)+b \Longleftrightarrow 3=\dfrac{1}{3}+b$
    $\phantom{3=-\dfrac{1}{3}\times (-1)+b} \Longleftrightarrow 3-\dfrac{1}{3}=b$
    $\phantom{3=-\dfrac{1}{3}\times (-1)+b} \Longleftrightarrow \dfrac{8}{3}=b$
  2. Placer le point $C(\dfrac{3}{2};2)$. Le point C appartient-il à la droite $(AB)$ ?

    Aide

    Il faut remplacer $x$ par l'abscisse de $C$ et déterminer si l'équation de $(AB)$ est vérifiée

    Solution

    $(AB)$ a pour équation réduite $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3}$.
    $-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{3}$
    $\phantom{-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{3}}=-\dfrac{3}{6}+\dfrac{16}{6}$
    $\phantom{-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{3}}=\dfrac{13}{6}$
    or $y_C\neq \dfrac{13}{6}$
  3. Déterminer l'équation de la droite $\Delta$ parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $E(-1 ;1)$.

    Aide

    Deux droites parallèles ont des coefficients directeurs égaux

    Solution

    $(AB)$ a pour équation réduite $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3}$ donc son coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{3}$.
    donc $\Delta$ a pour coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{3}$ et admet une équation réduite de la forme $y=-\dfrac{1}{3}x+b$.
    $E(-1;1)\in \Delta$ donc $y_E=-\dfrac{1}{3}x_E+b$
    $1=-\dfrac{1}{3}\times (-1)+b \Longleftrightarrow 1+\dfrac{1}{3}=b \Longleftrightarrow \dfrac{4}{3}=b$

Fiche méthode


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Équation réduite

- tracer une droite
- déterminer l'équation réduite
- déterminer l'équation réduite d'une parallèle

infos: | 20mn |

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